Wzór na obliczanie wyznacznika macierzy 3x3 metodą Sarrusa


Do obliczenia wyznacznika macierzy 3x3 najłatwiej jest zastosować metode Sarrusa, należy jednak pamiętać, że metodę można stosować tylko dla macierzy 3x3.

\(det(A)= \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} = \)

\(=a_{11}a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32} - (a_{13} a_{22} a_{31}+a_{11} a_{23} a_{32}+a_{12} a_{21} a_{33})\)


Aby zrozumieć tą metodę i nauczyć się jej w łatwy sposób polecam poniższy schemat.
Obok naszej macierzy przepisujemy dwie pierwsze kolumny jak poniżej.
Krok pierwszy:

\(det(A)= \begin{vmatrix}
{\color{red}{a_{11}}} & {\color{Blue}{a_{12}}} & a_{13} \\
{\color{red}{a_{21}}} & {\color{Blue}{a_{22}}} & a_{23} \\
{\color{red}{a_{31}}} & {\color{Blue}{a_{32}}} & a_{33}
\end{vmatrix}\begin{matrix}
{\color{red}{a_{11}}} & {\color{Blue}{a_{12}}}\\
{\color{red}{a_{21}}} & {\color{Blue}{a_{22}}}\\
{\color{red}{a_{31}}} & {\color{Blue}{a_{32}}} 
\end{matrix}\)

Następnie wymnażamy wyrazy zaznaczone kolorem i dodajemy do siebie.
Krok drugi:

\(det(A)= \begin{vmatrix}
{\color{red}{a_{11}}} & {\color{Blue}{a_{12}}} & {\color{cyan}{a_{13}}} \\
a_{21} & {\color{red}{a_{22}}} & {\color{Blue}{a_{23}}} \\
a_{31} & a_{32} & {\color{red}{a_{33}}}
\end{vmatrix}\begin{matrix}
a_{11} & a_{12}\\
{\color{cyan}{a_{21}}} & a_{22}\\
{\color{blue}{a_{31}}} & {\color{cyan}{a_{32}}}
\end{matrix}\)

czyli:

\(a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}+a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}+a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}\)

Analogicznie do kroku drugiego.
Krok trzeci:

\(det(A)= \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & {\color{cyan}{a_{13}}} \\
a_{21} & {\color{cyan}{a_{22}}} & {\color{Blue}{a_{23}}} \\
{\color{cyan}{a_{31}}} & {\color{blue}{a_{32}}} & {\color{red}{a_{33}}}
\end{vmatrix}\begin{matrix}
{\color{blue}{a_{11}}} & {\color{red}{a_{12}}}\\
{\color{red}{a_{21}}} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{matrix}\)

czyli:

\(a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}+a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}+a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}\)

Ostatni krok - od wielomianu z kroku drugiego odejmujemy wielomian z kroku trzeciego.
Krok czwarty:

\(a_{11}a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32} - (a_{13} a_{22} a_{31}+a_{11} a_{23} a_{32}+a_{12} a_{21} a_{33})\)


Krótki przykład:

\(det(A)= \begin{vmatrix}
5 & 4 & -7 \\
1 & 3 & -1 \\
2 & 0 & -3
\end{vmatrix}\begin{matrix}
5 & 4\\
1 & 3\\
2 & 0
\end{matrix} = \)

\(=5\cdot3\cdot(-3)+4\cdot(-1)\cdot2+(-7)\cdot1\cdot0 -[ (-7)\cdot3\cdot2+5\cdot(-1)\cdot0+4\cdot1\cdot(-3)]=\)

\(= -45 -8 +0 -(-42+0-12) = -53-(-54)=-53+54=1\)