Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Wzór na obliczanie wyznacznika macierzy 3x3 metodą Sarrusa


Do obliczenia wyznacznika macierzy 3x3 najłatwiej jest zastosować metode Sarrusa, należy jednak pamiętać, że metodę można stosować tylko dla macierzy 3x3.

\(det(A)= \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} = \)

\(=a_{11}a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32} - (a_{13} a_{22} a_{31}+a_{11} a_{23} a_{32}+a_{12} a_{21} a_{33})\)


Aby zrozumieć tą metodę i nauczyć się jej w łatwy sposób polecam poniższy schemat.
Obok naszej macierzy przepisujemy dwie pierwsze kolumny jak poniżej.
Krok pierwszy:

\(det(A)= \begin{vmatrix}
{\color{red}{a_{11}}} & {\color{Blue}{a_{12}}} & a_{13} \\
{\color{red}{a_{21}}} & {\color{Blue}{a_{22}}} & a_{23} \\
{\color{red}{a_{31}}} & {\color{Blue}{a_{32}}} & a_{33}
\end{vmatrix}\begin{matrix}
{\color{red}{a_{11}}} & {\color{Blue}{a_{12}}}\\
{\color{red}{a_{21}}} & {\color{Blue}{a_{22}}}\\
{\color{red}{a_{31}}} & {\color{Blue}{a_{32}}} 
\end{matrix}\)

Następnie wymnażamy wyrazy zaznaczone kolorem i dodajemy do siebie.
Krok drugi:

\(det(A)= \begin{vmatrix}
{\color{red}{a_{11}}} & {\color{Blue}{a_{12}}} & {\color{cyan}{a_{13}}} \\
a_{21} & {\color{red}{a_{22}}} & {\color{Blue}{a_{23}}} \\
a_{31} & a_{32} & {\color{red}{a_{33}}}
\end{vmatrix}\begin{matrix}
a_{11} & a_{12}\\
{\color{cyan}{a_{21}}} & a_{22}\\
{\color{blue}{a_{31}}} & {\color{cyan}{a_{32}}}
\end{matrix}\)

czyli:

\(a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}+a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31}+a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}\)

Analogicznie do kroku drugiego.
Krok trzeci:

\(det(A)= \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & {\color{cyan}{a_{13}}} \\
a_{21} & {\color{cyan}{a_{22}}} & {\color{Blue}{a_{23}}} \\
{\color{cyan}{a_{31}}} & {\color{blue}{a_{32}}} & {\color{red}{a_{33}}}
\end{vmatrix}\begin{matrix}
{\color{blue}{a_{11}}} & {\color{red}{a_{12}}}\\
{\color{red}{a_{21}}} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{matrix}\)

czyli:

\(a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}+a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}+a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}\)

Ostatni krok - od wielomianu z kroku drugiego odejmujemy wielomian z kroku trzeciego.
Krok czwarty:

\(a_{11}a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32} - (a_{13} a_{22} a_{31}+a_{11} a_{23} a_{32}+a_{12} a_{21} a_{33})\)


Krótki przykład:

\(det(A)= \begin{vmatrix}
5 & 4 & -7 \\
1 & 3 & -1 \\
2 & 0 & -3
\end{vmatrix}\begin{matrix}
5 & 4\\
1 & 3\\
2 & 0
\end{matrix} = \)

\(=5\cdot3\cdot(-3)+4\cdot(-1)\cdot2+(-7)\cdot1\cdot0 -[ (-7)\cdot3\cdot2+5\cdot(-1)\cdot0+4\cdot1\cdot(-3)]=\)

\(= -45 -8 +0 -(-42+0-12) = -53-(-54)=-53+54=1\)