Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Wzór na test niezależności chi-kwadrat

Wzór na test niezależności chi-kwadrat ma postać:

 

\(\chi^2 = \sum\limits_{j=1}^{k}\dfrac{(O_j - E_j)^2}{E_j}\)

 

gdzie:

\(\chi^2\) - test chi-kwadrat

\(O_j\) - liczebność obserwowana dla danej grupy

\(E_j\) - liczebność oczekiwana dla danej grupy

Wzór na test zgodności chi-kwadrat

Aby obliczyć test niezależności chi-kwadrat musimy na podstawie wartości obserwowanych, zebranych wyznaczyć wartości oczekiwane (równe w analizowanych grupach) a następnie wartości oczekiwane odjąć od wartości obserwowanych i różnice te podnieść do kwadratu a następnie podzielić przez wartość oczekiwaną. Uzyskane wyniki następnie sumujemy dla wszystkich grup.

Masz problem z analizą statystyczna? Przejdź TU! 

Przykład obliczenia wzoru:

W badaniu otrzymaliśmy następujące wyniki:

Tabela  - Wartości obserwowane \(O_j\) 
Wiek/płeć Kobiety Mężczyźni Ogółem
do 30 lat 12 12 24
30-50 lat 22 15 37
powyżej 50 lat 16 23 39
Ogółem 50 50 100

Na podstawie wyników obserwowanych musimy wyliczyć wartości oczekiwane dla wyników, czyli wartości, które oczekiwalibyśmy, gdyby nie było żadnych różnic. Proporcja dla jednej zmiennej, np 50% kobiet i 50% mężczyzn powinna być zachowana dla każdego poziomu drugiej zmiennej. W naszym przykładzie proporcja wynosi właśnie 50%-50% czyli wartości oczekiwane będą miały następującą postać:

Tabela  - Wartości oczekiwane \(E_j\)
Wiek/płeć Kobiety Mężczyźni
do 30 lat 12 12
30-50 lat 18,5 18,5
powyżej 50 lat 19,5 19,5

Należy zauważyć, że 24 * 50% = 12; 37 * 50% = 18,5; 39 * 50% = 19,5
Następnie musimy dokonać odpowiednich obliczeń 

Tabela. Obliczenia dla testu chi-kwadrat niezależności \(\chi^2\)
Płeć Wiek Wartość
obserwowana
\(O_j\)
Wartość oczekiwana
\(E_j\)
Różnica Kwadrat różnicy Iloraz kwadratu różnicy i wartości oczekiwanej
kobiety

do 30 lat 12 12 0 0 0
30 - 50 lat 22 18,5 3,5 12,5 0,662
powyżej 50 lat 16 19,5 -3,5 12,5 0,628
mężczyźni

do 30 lat 12 12 0 0 0
30 - 50 lat 15 18,5 -3,5 12,5 0,662
powyżej 50 lat 23 19,5 3,5 12,5 0,628
Wynik testu chi-kwadrat \(\chi^2\) \(\sum\) = 2,581


Następnie uzyskany wynik możemy odnieść do tablic rozkładu chi-kwadrat. W tym przypadku liczba stopni swobody wynosi 1, ponieważ:
liczba kategorii płci = 2
liczba kategorii wieku = 3
(2 - 1) * (3 - 1) = 2 - liczba stopni swobody

Tablice rozkładu chi-kwadrat

Można również skorzystać z naszego kalkulatora prawdopodobieństwa chi-kwadrat - aby wyliczyć dokładny poziom prawdopodobieństwa dla danego wyniku testu i liczby stopni swobody.