Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Wzory na współczynniki prostej regresji liniowej



Wzór na współczynnik prostej regresji liniowej - klasyczny model z jednym predyktorem ma postać:

\(b_1 = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum\limits_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2}\) 

gdzie:

\(b_1\) - współczynnik regresji (dla predyktora, przy predyktorze)

\(x_i\) - wyniki dla predyktora, kolejne obserwacje zmiennej wyjaśniającej

\(y_i\) - wyniki dla zmiennej zależnej, kolejne obserwacje zmiennej wyjaśnianej 

\(\bar{x}\) - średnia obserwowana wartość zmiennej wyjaśniającej, predyktora

\(\bar{y}\) - średnia obserwowana wartość zmiennej wyjaśnianej, zależnej


Wzór na stałą, parametr a ma postać:

\(a = \bar{y} - b_1\bar{x}\)

gdzie:

\(a\) - parametr wolny


Masz problem z analizą statystyczna? Przejdź TU! 

Przykład:

W celu sprawdzenia czy na podstawie poziomu inteligencji badanych uczniów można przewidywać ich wynik w teście (od 0 do 20 pkt) przeprowadzono analizę regresji liniowej prostej. W tabeli poniżej przedstawiono uzyskane wyniki dla 15 osób wraz z potrzebnymi obliczeniami analizy prostej regresji liniowej.

Numer osoby Wyniki w teście
Zmienna zależna \(y_i\)
Poziom inteligencji
Predyktor \(x_i\)
\(y_i - \bar{y}\) \(x_i - \bar{x}\) \((x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\) \((x_i - \bar{x})^2\)
1 10 100 -0,6 -10 6 100
2 12 110 1,4 0 0 0
3 13 106 2,4 -4 -9,6 16
4 6 100 -4,6 -10 46 100
5 9 90 -1,6 -20 32 400
6 8 89 -2,6 -21 54,6 441
7 12 110 1,4 0 0 0
8 10 120 -0,6 10 -6 100
9 11 140 0,4 30 12 900
10 16 125 5,4 15 81 225
11 10 130 -0,6 20 -12 400
12 5 100 -5,6 -10 56 100
13 7 80 -3,6 -30 108 900
14 19 140 8,4 30 252 900
15 11 110 0,4 0 0 0
\(\bar{y}=\)10,6 \(\bar{x}=\)110 \(\sum =\) 620 \(\sum =\) 4582

Aby wyliczyć współczynnik \(b_1\) musimy następnie podzielić 620 / 4582 = 0,1353 - współczynnik prostej regresji (dla predyktora). Wyraz wolny wynosi = 10,6 - (0,1353 * 110) = -4,2843 - parametr \(a\)
W ten sposób uzyskaliśmy współczynniki analizy regresji w klasycznym modelu, z jednym predyktorem.