Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Asymptota pozioma i ukośna – Zadanie 1

Wyznacz asymptoty poziome i ukośne funkcji \(f(x)=\dfrac{10x-17}{2x+40}\).

Obliczanie asymptot poziomych i ukośnych zaczynamy od wyznaczenia dziedziny podanej funkcji. Następnie szukamy asymptot poziomych, jeśli ich nie znajdziemy, to szukamy asymptot ukośnych.
Do wyznaczenia dziedziny, sprawdzamy dla jakich \(x\) mianownik jest różny od zera:

\(2x+40\neq 0\)

\(2x\neq -40\)

\(x\neq -20\)

Dziedziną naszej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste poza \(-20\).

\( D_f=R \setminus \left \{ -20 \right \}\) lub inaczej \(D_f=(-\infty;-20) \cup (-20;+\infty )\)

Przy szukaniu asymptoty poziomej i ukośnej interesuje nas jedynie informacja, czy funkcja ma dziedzinę w plus lub minus nieskończoności. Nie istotne jest, czy w określonych punktach istnieje, czy nie. Jeśli zapisujemy dziedzinę w postaci \((-\infty; \cdots ;+\infty\), oznacza to, że funkcja może mieć asymptotę poziomą lub ukośną.

Przystępujemy do szukania asymptoty poziomej, zgodnie z wzorem:

\( \lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)\)

więc:

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{10x-17}{2x+40}_{/ \: :x}= \)

dzielimy licznik i mianownik przez \(x\):

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{10-\dfrac{17}{x}}{2+\dfrac{40}{x}}=\dfrac{10}{2}=5\)

Oznacza to, że funkcja posiada asymptotę poziomą o równaniu \(y=5\).

Odpowiedź: Funkcja \(f(x)=\dfrac{10x-17}{2x+40}\) posiada asymptotę poziomą obustronną o równaniu \(y=5\).