Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Asymptota pozioma i ukośna – Zadanie 2

Wyznacz asymptoty poziome i ukośne funkcji \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+5x+8}\).

Obliczanie asymptot poziomych i ukośnych zaczynamy od wyznaczenia dziedziny podanej funkcji. Następnie szukamy asymptot poziomych, jeśli ich nie znajdziemy, to szukamy asymptot ukośnych.
Przy szukaniu asymptoty poziomej i ukośnej interesuje nas jedynie informacja, czy funkcja ma dziedzinę w plus lub minus nieskończoności. Nie istotne jest, czy w określonych punktach istnieje, czy nie. Jeśli zapisujemy dziedzinę w postaci \((-\infty; \cdots ;+\infty\), oznacza to, że funkcja może mieć asymptotę poziomą lub ukośną.
W naszym przypadku możliwe jest, że dziedzina jest równa zero, łatwo można to ustalić obliczając deltę \(x_1\) oraz \(x_2\). Jednak w samej nieskończoności, na pewno istnieje.

Przystępujemy więc od razu do szukania asymptoty poziomej:

\( \lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)\)

więc:

\( \lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{1}{x^2+5x+8}\)

Od razu widać, że obliczając granicę w plus i minus nieskończoności, licznik ułamka zawsze będzie równy \(1\), natomiast mianownik będzie ogromną liczbą (nieskończonością). Jak wiadomo, stała liczba podzielona na nieskończenie wiele części daje zero. Wynikiem naszej granicy jest więc:

\( \lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{1}{x^2+5x+8}=0\)

Otrzymujemy więc asymptotę pozioma o równaniu \(y=0\).

Odpowiedź: Funkcja \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+5x+8}\) posiada asymptotę pozioma obustronną o równaniu \(y=0\).