Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Asymptota pozioma i ukośna – Zadanie 3

Wyznacz asymptoty poziome i ukośne funkcji \(f(x)=2x+\dfrac{5}{x}\).

Obliczanie asymptot poziomych i ukośnych zaczynamy od wyznaczenia dziedziny podanej funkcji. Następnie szukamy asymptot poziomych, jeśli ich nie znajdziemy, to szukamy asymptot ukośnych.

Obliczamy dziedzinę funkcji, w tym przypadku, mamy ułamek, którego mianownik nie może być równy zero, więc:

\(x\neq 0\)

więc dziedziną funkcji będą wszystkie liczby rzeczywiste poza \(0\):

\(D_f=(-\infty;0) \cup (0;+\infty)\)

Przystępujemy do wyznaczania asymptoty poziomej zgodnie z następującym wzorem:

\( \lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)\)

\( \lim\limits_{x \to \pm \infty}2x+\dfrac{5}{x}=\pm \infty\)

Jeśli za \(x\) wstawimy najpierw minus nieskończoność to otrzymamy również minus nieskończoność, analogicznie jest z plus nieskończonością. Oznacza to, że podana funkcja nie posiada asymptoty poziomej. Sprawdzamy wiec, czy podana funkcja posiada asymptoty ukośne, zgodnie z wzorami:

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{f(x)}{x}=a\)

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)-ax=b\)

\(y=ax+b\)

podstawiamy do wzoru:

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{ 2x+\dfrac{5}{x} }{x}= \lim\limits_{x \to \pm \infty}2+\dfrac{5}{x^2}=2\)

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}2x+\dfrac{5}{x} -2x= \lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{5}{x}=0\)

Wyliczyliśmy więc \(a=2\) oraz \(b=0\), oznacza to, że funkcja posiada asymptotę ukośną.

Odpowiedź: Funkcja \(f(x)= 2x+\dfrac{5}{x}\) posiada asymptotę ukośną obustronną o równaniu \(y=2x\).