Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Asymptota pozioma i ukośna – Zadanie 4

Wyznacz asymptoty poziome i ukośne funkcji \(f(x)=\dfrac{x^2+2x-7}{x+5}\).

Dziedziną funkcji będą wszystkie liczby rzeczywiste z wyłączeniem liczby \(-5\):

\(D_f=(-\infty;-5) \cup (-5;+\infty)\)

Przystępujemy do szukania asymptoty poziomej podstawiając do wzoru:

\( \lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)\)

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x^2+2x-7}{x+5}_{/ \: : x}=\)

\(=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x+2-\dfrac{7}{x}}{1+\dfrac{5}{x}}=\pm \infty\)

oznacza to, że funkcja nie posiada asymptoty poziomej, przechodzimy do sprawdzenia, czy istnieje asymptota ukośna zgodnie z wzorami:

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{f(x)}{x}=a\)

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)-ax=b\)

\(y=ax+b\)

podstawiamy do wzoru i obliczamy:

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{\dfrac{x^2+2x-7}{x+5}}{x}= \lim\limits_{x \to \pm \infty} \dfrac{x^2+2x-7}{x^2+5x}_{/ \: : x^2}= \lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{1+\frac{2}{x}-\frac{7}{x^2}}{1+\frac{5}{x}}=1\)


\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x^2+2x-7}{x+5}-1x=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x^2+2x-7}{x+5}-\dfrac{x^2+5x}{x+5}=\)

\(=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{x^2+2x-7-x^2-5x}{x+5}=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{-3x-7}{x+5}_{/ \: :x}=\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{-3-\frac{7}{x}}{1+\frac{5}{x}}=-3\)


Obliczyliśmy \(a=1\) oraz \(b=-3\), oznacza to, że funkcja posiada asymptoty ukośne.

Odpowiedź: Podana funkcja posiada asymptotę ukośną obustronna o równaniu \(y=x-3\).