Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Asymptota pozioma i ukośna – Zadanie 5

Wyznacz asymptoty poziome i ukośne funkcji \(f(x)=\dfrac{2x^3+3x^2-6x-9}{x^3-90x^2-16x+500}\).

Sprawdzając dziedzinę funkcji powinniśmy obliczyć, dla jakich wartości \(x\) mianownik funkcji, jest różny od zera. Jednak przy wyznaczaniu asymptot poziomych i ukośnych, istotne jest jedynie, by funkcja posiadała dziedzinę w plus i minus nieskończoności, a na pewno jest to zachowane w tym przypadku. Możliwe braki dziedziny, to maksymalnie trzy pojedyncze punkty, co nie wpłynie na szukane przez nas asymptoty. Przystępujemy do sprawdzenia, czy funkcja posiada asymptotę poziomą, obliczając:

\( \lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)=a\)

\(\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{2x^3+3x^2-6x-9}{x^3-90x^2-16x+500}_{/ \: : x^3}=
\lim\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{2+\dfrac{3}{x}-\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{9}{x^3}}{1-\dfrac{90}{x}-\dfrac{16}{x^2}+\dfrac{500}{x^3}}=2\)

Obliczyliśmy współczynnik \(a=2\), oznacza to, że funkcja posiada asymptotę poziomą.

Odpowiedź: Podana funkcja posiada asymptotę poziomą obustronną o równaniu \(y=2\)