Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Ciąg arytmetyczny – Zadanie 2 powrót do artykułu głównego  

Podane liczby w kolejności są pierwszymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1; r \: ; a_{15}, a_{17}\).

a) 3, 7, 11, 15, 19,…    b) 5, 6, 7, 8, 9,…    c) 2, 13, 24, 35, 46,…

Do rozwiązania zadania potrzeba czterech wartości. Pierwsza \(a_1\) jest pierwszym wyrazem ciągu (pierwsza liczba w każdym podpunkcie). Druga \(r\) jest różnicą pomiędzy dwoma sąsiadującymi ze sobą wyrazami, zgodnie ze wzorem:

\(a_{n+1}-a_n = r\)

Trzecia i czwarta wartość to wyrazy piętnasty i siedemnasty podanego ciągu, do ich obliczenia użyjemy wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:

\(a_n=a_1+(n-1)r\)

podstawiając wcześniej wyliczone \(a_1\) oraz \(r\) natomiast za \(n\) podstawimy odpowiednio najpierw 15 a następnie 17.

a)

3, 7, 11, 15, 19,…

Pierwszym wyrazem ciągu jest

\(a_1=3\)

Do obliczenia różnicy użyjemy wyrazu pierwszego i drugiego, tak więc:

\(r= a_{n+1}-a_n =7-3=4\)

Zanim obliczymy kolejne wartości zapiszmy wzór ogólny ciągu arytmetycznego:

\( a_n=a_1+(n-1)r=3+(n-1)4=3+4n-4=4n-1\)

\(a_n=4n-1\)

teraz możemy obliczyć kolejne wartości, podstawiając w miejsce \(n\) odpowiednio 15 i 17:

\(a_{15}=4\cdot 15 -1=60-1=59\)

\(a_{17}=4\cdot 17 -1=68-1=67\)

Odpowiedź: Szukane wartości to: \(a_1=3; r=4; a_{15}=59;a_{17}=67\).

b)

5, 6, 7, 8, 9,…

rozwiązujemy analogicznie jak podpunkt wyżej,

\(a_1=5\)

\(r= a_{n+1}-a_n =6-5=1\)

\( a_n=a_1+(n-1)r=5+(n-1)\cdot 1=5+n-1=n+4\)

\(a_n=n+4\)

\(a_{15} = 15+4=19\)

\(a_{17}=17+4=21\)

Odpowiedź: Szukane wartości to: \(a_1=5; r=1; a_{15}=19;a_{17}=21\).

c)

2, 13, 24, 35, 46,…

rozwiązujemy analogicznie jak podpunkt a),

\(a_1=2\)

\(r= a_{n+1}-a_n =13-2=11\)

\( a_n=a_1+(n-1)r=2+(n-1)\cdot 11=2+11n-11=11n-9\)

\(a_n=n-9\)

\(a_{15} = 15-9=6\)

\(a_{17}=17-9=8\)

Odpowiedź: Szukane wartości to: \(a_1=2; r=11; a_{15}=6;a_{17}=8\).



Zadanie 1

Zadanie 3 

Zadanie 4 

Zadanie 5 

Zadanie 6 

Zadanie 7 

Zadanie 8 

Zadanie 9 

Zadanie 10

Zadanie 11