Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Ciąg arytmetyczny – Zadanie 6 powrót do artykułu głównego  

Mając dane dwa wyrazy ciągu arytmetycznego, wyznacz wzór ogólny tego ciągu:

a) \(a_4=22 \:\:\:\: a_5=26\)                b) \(a_{10}=162\:\:\:\: a_{11}=170\)

Rozwiązać zadanie można dwoma sposobami. Pierwszy to zauważamy, że w obu podpunktach podane są wartości sąsiednich wyrazów ciągu, można w ten sposób obliczyć wartość różnicy \(r\) ciągu arytmetycznego, następnie podstawić do wzoru na ogólny wyraz ciągu znane wartości i wyliczyć \(a_1\), a na koniec zapisać ogólny wzór ciągu.

Drugi sposób to na początku podstawić znane wartości do wzoru na wyraz ogólny, powstanie układ równań, który po rozwiązaniu da nam szukane wyniki.

W powyższym zadaniu podpunkt a) rozwiążemy pierwszym sposobem, a podpunkt b) rozwiążemy drugim sposobem.

a)

\(a_4=22 \:\:\:\: a_5=26\)

Dane są dwa sąsiednie wyrazy ciągu arytmetycznego, można więc skorzystać z wzoru:

\(r=a_{n+1}-a_n\)

do obliczenia różnicy ciągu aryt.

\(r=26-22=4\)

Następnie do wzoru na wyraz ogólny wstawimy obliczoną wartość różnicy ciągu oraz wartość \(a_4\) czyli czwartego wyrazu ciągi, oczywiście za \(n\) podstawiamy \(4\):

\(a_n=a_1+(n-1)r\)

\(22=a_1+(4-1)\cdot 4\)

\(22=a_1+3\cdot 4\)

\(-a_1=-22+12\)

\(-a_1=-10\)

\(a_1=10\)

Mając wszystkie dany możemy napisać wzór ogólny ciągu arytmetycznego:

\(a_n=10+(n-1)\cdot 4\)

\(a_n=10+4n-4\)

\(a_n=4n+6\)

Odpowiedź: Szukany wzór ciągu arytmetycznego to \(a_n=4n+6\).


b)

\(a_{10}=162\:\:\:\: a_{11}=170\)

podstawiamy do wzoru na wyraz ogólny i rozwiązujemy układ równań:

\(a_n=a_1+(n-1)r\)

\(\left\{\begin{matrix}

162=a_1+(10-1)\cdot r\\

170=a_1+(11-1)\cdot r

\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}

162=a_1+9\cdot r\\

170=a_1+10 \cdot r

\end{matrix}\right.\)

następnie odejmujemy równania stronami:

\(170-162=a_1-a_1+10\cdot r -9\cdot r\)

\(8=r\)

wstawiamy wyliczone \(r\) do jednego z równań:

\(162=a_1+9\cdot 8\)

\(162=a_1+72\)

\(a_1=162-72\)

\(a_1=90\)

teraz możemy wyliczone wartości wstawić do wzoru ogólnego

\(a_n=a_1+(n-1)r\)

\(a_n=90+(n-1)\cdot 8\)

\(a_n=90+8n-8\)

\(a_n=8n+82\)

Odpowiedź: Szukany wzór ciągu arytmetycznego to \(a_n=8n+82\).



Zadanie 1

Zadanie 2 

Zadanie 3 

Zadanie 4 

Zadanie 5 

Zadanie 7 

Zadanie 8 

Zadanie 9 

Zadanie 10

Zadanie 11