Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Ciąg geometryczny – Zadanie 2 powrót do artykułu głównego  

Podane liczby w kolejności są pierwszymi liczbami ciągu geometrycznego. Oblicz \(a_1 \: ; q \: ; a_{10} \: ; a_{13}\).

a) 2; 4; 8; 16; 32; …            b) 6, 18, 54, 162, 486, …          c) 0,5; 5; 50; 500; 5000, …     

Do obliczenia \(a_1\) nie potrzebujemy żadnego wzoru, jest to pierwsza wartość w podanych ciągach. Aby obliczyć iloraz \(q\) posłużymy się wzorem:

\(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)

Do obliczenia wartości \(a_{10}; a_{13}\) najpierw wyprowadzimy wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)

a następnie podstawimy w miejsce \(n\) odpowiednio najpierw 10 a następnie 13.

a)

2; 4; 8; 16; 32; …

\(a_1=2\)

\(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)

do wstawienia do wzoru wybierzemy wyrazy pierwszy i drugi:

\(q=\dfrac{a_2}{a_1}\)

\(q=\dfrac{4}{2}=2\)

wzór na n-ty wyraz będzie miała postać:

\(a_n=2\cdot 2^{n-1}=2\cdot 2^n\cdot 2^{-1}=2^n\cdot 2\cdot \dfrac{1}{2}=2^n\)

za \(n\) podstawiamy odpowiednio 10 i 13:

\(a_{10}=2^{10}=1024\)

\(a_{13}=2^{13}=8192\)

Odpowiedź: Szukane wartości to \(a_1=2 \: ; \: q=2 \: ; \: a_{10}=1024 \: ; \: a_{13}=8192 \).

b)

6, 18, 54, 162, 486, …

\(a_1=6\)

\(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)

\(q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{18}{6}=3\)

\(a_n=6\cdot 3^{n-1}=6\cdot 3^n\cdot 3^{-1}=3^n\cdot 6\cdot \dfrac{1}{3}=3^n\cdot \dfrac{6}{3}=3^n\cdot 2\)

\(a_{10}=3^{10}\cdot 2=59049\cdot 2= 118098\)

\(a_{13}=3^{13}\cdot 2=1594323\cdot 2=3188646\)

Odpowiedź: Szukane wartości to \(a_1=6 \: ; \: q=3 \: ; \: a_{10}=118098 \: ; \: a_{13}=3188646 \).

c)

0,5 ; 5 ; 50; 500; 5000, …

\(a_1=0,5\)

\(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)

\(q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{5}{0,5}=10\)

\(a_n=0,5 \cdot 10^{n-1}=0,5\cdot 10^n\cdot 10^{-1}=0,05\cdot 10^n\)

\(a_{10}=0,05\cdot 10^{10}=500 \: 000 \: 000\)

\(a_{13}= 0,05\cdot 10^{13}=500 \: 000 \: 000 \: 000 \)

Odpowiedź: Szukane wartości to \(a_1=0,5 \: ; \: q=10 \: ; \: a_{10}=500 \: 000 \: 000 \: ; \: a_{13}= 500 \: 000 \: 000 \: 000\). 



Zadanie 1 

Zadanie 3 

Zadanie 4 

Zadanie 5 

Zadanie 6 

Zadanie 7 

Zadanie 8