Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Ciąg geometryczny – Zadanie 6 powrót do artykułu głównego  

Mając dane dwa wyrazy ciągu geometrycznego, wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu:

a) \(a_3=24 \:\:\:\:\: a_4=48\)                    b) \(a_3=2376 \:\:\:\: a_4=14256\)

Na rozwiązanie tego typu zadania są, co najmniej, trzy główne sposoby:

Pierwszy: oba wyrażenia podstawić do wzoru na n-ty wyraz i rozwiązać układ równań:

\( \left\{\begin{matrix}

24=a_1\cdot q^{3-1}\\

48=a_1\cdot q^{4-1}

\end{matrix}\right.\)

Drugim sposobem rozwiążemy podpunkt a); trzecim sposobem rozwiążemy podpunkt b).

a)
\(a_3=24 \:\:\:\:\: a_4=48\)

zauważamy, że \(a_3 \) oraz \(a_4\) są kolejnymi wyrazami ciągu, możemy więc łatwo wyliczyć iloraz ciągu \(q\):

\(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)

\(q=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{48}{24}=2\)

wiadomo więc, że każdy kolejny wyraz jest większy o \(2\) od poprzedniego, analogicznie każdy następny wyraz ciągu geometrycznego jest mniejszy o \(2\) od następnego. Wychodząc z tego założenia możemy podzielić wyraz trzeci przez \(2\) otrzymując wyraz drugi:

\(a_2=\dfrac{a_3}{q}=\dfrac{24}{2}=12\)

i analogicznie obliczymy wyraz \(a_1\)

\(a_1=\dfrac{12}{2}=6\)

mając te dane, podstawiamy do wzoru na n-ty wyraz:

\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}=6\cdot 2^{n-1}=6\cdot 2^n\cdot 2^{-1}=6\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 2^n=3\cdot 2^n\)

Odpowiedź: Szukany wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego ma postać \(a_n=3\cdot 2^n\).

b)
\(a_3=2376 \:\:\:\: a_4=14256\)

jak w podpunkcie a) obliczamy wartość ilorazu ciągu \(q\):

\(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)

\(q=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{14256}{2376}=6\)

następnie wstawiamy \(a_3=2376\) oraz \(q=6\) do wzoru na wyraz ogólny:

\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)

\(a_3=a_1\cdot q^{3-1}\)

\(2376=a_1\cdot 6^2\)

\(2376=a_1\cdot 36\)

\(a_1=66\)

wstawiamy wyliczone \(a_1 \: ; \: q\) do wzoru na n-ty wyraz ciągu:

\(a_n=66\cdot 6^{n-1}=66\cdot 6^n\cdot 6^{-1}=66\cdot \dfrac{1}{6}\cdot 6^n=11\cdot 6^n\)

Odpowiedź: Szukany wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego ma postać \(a_n=11\cdot 6^n\).



Zadanie 1 

Zadanie 2 

Zadanie 3 

Zadanie 4 

Zadanie 5 

Zadanie 7 

Zadanie 8