Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Ciąg geometryczny – Zadanie 7 powrót do artykułu głównego  

Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego mając dane:

a) \(a_2=49 \:\:\:\:\: a_5=16807\)        b) \(a_7=8748 \:\:\:\:\: a_{11}=708588\)

Aby rozwiązać zadanie, skorzystamy z wzoru na n-ty ciągu geometrycznego, stworzymy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi:

\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)

a)
\(a_2=49 \:\:\:\:\: a_5=16807\)

za \(a_n\) wstawimy \(a_2\) czyli wartość 29, zamiast \(n\) wstawimy \(2\). Analogicznie postąpimy z drugą liczba, więc:

\( \left\{\begin{matrix}

49=a_1\cdot q^{2-1}\\

16807=a_1\cdot q^{5-1}

\end{matrix}\right.\)

\( \left\{\begin{matrix}

49=a_1\cdot q\\

16807=a_1\cdot q^4

\end{matrix}\right.\)

następnie podzielimy równanie drugie przez pierwsze, zredukuje się wtedy \(a_1\):

\(\dfrac{16807}{49}=\dfrac{a_1\cdot q^4}{a_1 \cdot q}\)

\(343=q^3\)

\(q=7\)

wyliczone \(q\) wstawiamy do pierwszego równania i wyliczamy \(a_1\):

\(49=a_1\cdot 7\)

\(a_1=7\)

można zapisać wzór na n-ty wyraz ciągu:

\(a_n=7\cdot 7^{n-1}=7\cdot 7^n\cdot 7^{-1}=7\cdot \dfrac{1}{7}\cdot 7^n=7^n\)

Odpowiedź: Szukane wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego to \(a_n=7^n\)

b)
\(a_7=8748 \:\:\:\:\: a_{11}=708588\)

rozwiązujemy analogicznie jak podpunkt a);

\( \left\{\begin{matrix}

8748=a_1\cdot q^{7-1}\\

708588=a_1\cdot q^{11-1}

\end{matrix}\right.\)

\( \left\{\begin{matrix}

8748=a_1\cdot q^6\\

708588=a_1\cdot q^{10}

\end{matrix}\right.\)

dzielimy stronami,

\(\dfrac{708588}{8748}=\dfrac{a_1\cdot q^{10}}{a_1\cdot q^6}\)

\(81=q^4\)

\(q=3 \:\:\:\: \vee \:\:\:\: q=-3\)

wstawiamy do pierwszego równania,

\(\left\{\begin{matrix}

q=3\\

8748=a_1\cdot q^6

\end{matrix}\right.

\:\:\:\: \vee \:\:\:\:

\left\{\begin{matrix}

q=-3\\

8748=a_1\cdot q^6

\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}

q=3\\

8748=a_1\cdot 3^6

\end{matrix}\right.

\:\:\:\: \vee \:\:\:\:

\left\{\begin{matrix}

q=-3\\

8748=a_1\cdot (-3)^6

\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}

q=3\\

8748=a_1\cdot 729

\end{matrix}\right.

\:\:\:\: \vee \:\:\:\:

\left\{\begin{matrix}

q=-3\\

8748=a_1\cdot 729

\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}

q=3\\

a_1=12

\end{matrix}\right.

\:\:\:\: \vee \:\:\:\:

\left\{\begin{matrix}

q=-3\\

a_1=12

\end{matrix}\right.\)

Wzór na n-ty wyraz ciągu ma postać:

\(a_n=12\cdot 3^{n-1} \:\:\:\; \vee \:\:\:\: a_n=12\cdot (-3)^{n-1}\)

\(a_n=12\cdot 3^n\cdot \dfrac{1}{3} \:\:\:\; \vee \:\:\:\: a_n=12\cdot (-3)^n\cdot (-\dfrac{1}{3})\)

\(a_n=4\cdot 3^n \:\:\:\; \vee \:\:\:\: a_n=-4\cdot (-3)^n\)

Odpowiedź: Szukany wzór na n-ty wyraz ciągu ma postać \(a_n=4\cdot 3^n\) lub \( a_n=-4\cdot (-3)^n\).


Zadanie 1 

Zadanie 2 

Zadanie 3 

Zadanie 4 

Zadanie 5 

Zadanie 6 

Zadanie 8