Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Ciąg geometryczny – Zadanie 8 powrót do artykułu głównego  

Oblicz sumę pierwszych 8 wyrazów ciągu geometrycznego:

a) 2, 4, 8, 16, 32, ….        b) 5, 25, 125, 625, 3125, …

Do obliczenia sumy zawsze są minimum dwa sposoby. Liczenie na piechotę przy małych liczbach jest skuteczne, ale robi się niewykonalne przy większych liczbach lub dużych ilościach liczb. Zadanie będziemy rozwiązywali za pomocą wzorów. Jest to o tyle uniwersalna metoda, iż pozwala uzyskać wynik niezależnie, czy mamy do czynienia z ogromnymi liczbami, czy z małymi.

Wzór do obliczenia sumy ciągu geometrycznego ma postać:

\(S_n= a_1 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}\)

\(a_1\) jest podane (pierwsza liczba ciągu), \(n\) jest wartością znana – mamy obliczyć sumę ośmiu wyrazów \(n=8\). Trzeba wyznaczyć iloraz ciągu \(q\) z wzoru:

\(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)

a)
2, 4, 8, 16, 32, ….

obliczamy \(q\):

\(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{4}{2}=2\)

wstawiamy do wzoru na sumę:

\(S_8=2\cdot \dfrac{1-2^8}{1-2}=2\cdot \dfrac{1-256}{-1}=2\cdot \dfrac{-255}{-1}=2\cdot 255=510\)

Odpowiedź: Szukana suma wynosi: \(S=510\).

b)
5, 25, 125, 625, 3125, …

Rozwiązujemy analogicznie jak podpunkt a);

\(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{25}{5}=5\)

wstawiamy do wzoru sumy:

\(S_8=5\cdot \dfrac{1-5^8}{1-5}=5\cdot \dfrac{1-390625}{-4}=5\cdot \dfrac{-390624}{-4}=5\cdot 97656=488280\)

Odpowiedź: Szukana suma wynosi: \(S=488280\).



Zadanie 1 

Zadanie 2 

Zadanie 3 

Zadanie 4 

Zadanie 5 

Zadanie 6 

Zadanie 7