Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Indukcja matematyczna – Zadanie 1 powrót do artykułu głównego 


Za pomocą indukcji matematycznej wykaż, że dla dowolnego \(n\epsilon N\) prawdziwe jest wyrażenie:

\(\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2\)

Dla ułatwienia podane wyrażenie można zapisać w postaci:

\(1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2\)

Jest to suma liczb nieparzystych.

Rozwiązanie

1) Sprawdzamy równanie dla \(n=1\)

\(\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2\)

\(\sum_{k=1}^{1}(2k-1)=1^2\)

\(2\cdot 1-1=1\)

\(2-1=1\)

\(1=1\)

Warunek pierwszy jest prawdziwy, można przejść do punktu drugiego:

2) Zakładamy, że równanie jest prawdziwe dla liczby naturalnej \(k \geqslant 1\):

 \(1+3+5+\cdots +(2k-1)=k^2\)

3) Wykorzystując założenie z punktu drugiego, udowadniamy prawdziwość równania dla \(k+1\):

\(1+3+5+\cdots +(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1)^2\)

Łatwo zauważyć, że część równanie po lewej stronie to założenie z punktu drugiego, wstawimy zamiast \(1+3+5+\cdots +(2k-1)\) wyrażenie \(k^2\), więc:

\(k^2+(2(k+1)-1)=(k+1)^2\)

następnie rozwiązujemy, by sprawdzić czy tak powstałe wyrażenie jest prawdziwe,

\(k^2+(2(k+1)-1)=(k+1)^2\)

\(k^2+2k+2-1=(k+1)^2\)

\(k^2+2k+1=k^2+2k+1\)

\(0=0\)

\(L=P\)

Lewa strona równa się prawej, więc wyrażenie jest prawdziwe.

Oznacza to, że właśnie udowodniliśmy, że wyrażenie \(\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2\) jest prawdziwe dla \(k+1\) pod warunkiem, że prawdziwe jest dla \(k\). Wiemy też z punktu 1) że wyrażenie jest prawdziwe dla \(1\). Oznacza to, że wyrażenie jest prawdziwe dla liczb naturalnych \(n\) od \(1\) przez każdą następną, aż do nieskończoności.

Odpowiedź: udowodniono prawdziwość wyrażenia \(\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2\) dla \(n\epsilon N\). 


Zadanie 2 

Zadanie 3 

Zadanie 4