Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Indukcja matematyczna – Zadanie 2 powrót do artykułu głównego 


Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\) prawdziwy jest wzór:

\(\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}\)

Powyższe wyrażenie można też zapisać w postaci:

\(1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\)

Czyli wzór na sumę liczb naturalnych.

Rozwiązanie

1) Sprawdzamy prawdziwość równania dla \(n=1\)

\(1=\dfrac{1(1+1)}{2}\)

\(1=\dfrac{1\cdot 2}{2}\)

\(1=\dfrac{1}{1}\)

\(1=1\)

\(L=P\)

równanie jest prawdziwe dla \(n=1\)

2) Zakładamy, że równanie jest prawdziwe dla liczby naturalnej \(k \geqslant 1\):

 \(1+2+3+\cdots +k=\dfrac{k(k+1)}{2}\)

3) Wykorzystując założenie z punktu drugiego, udowadniamy prawdziwość równania dla \(k+1\):

\(1+2+3+\cdots +k+(k+1)=\dfrac{(k+1)((k+1)+1)}{2}\)

Trzeba zauważyć, że część wyrażenia po lewej stronie równania \(1+2+3+\cdots +k\) to lewa strona założenia z punktu 2), podstawiamy wiec za nią resztę założenia z pkt. 2):

\(\dfrac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\dfrac{(k+1)((k+1)+1)}{2}\)

pozostało rozwiązać równanie,

\(\dfrac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\dfrac{(k+1)((k+1)+1)}{2} \:\: / \: \cdot 2\)

\(k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+1+1)\)

\(k^2+k+2k+2=k^2+2k+k+2\)

\(0=0\)

\(L=P\)

Podsumowując – udowodniliśmy prawdziwość wzoru dla \(n=1\). Następnie zakładając, że wzór jest prawdziwy dla \(k\) udowodniliśmy, że jest prawdziwy dla \(k+1\).

Odpowiedź: Wzór \(\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}\) jest prawdziwy i udowodniony za pomocą indukcji matematycznej.


Zadanie 1 

Zadanie 3 

Zadanie 4