Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Miejsca zerowe funkcji kwadratowej – Zadanie 1powrót do artykułu głównego

Podaj wartość wyróżnika i miejsca zerowe funkcji:
a) \(f(x)=x^2-8x+12\)

b) \(f(x)=-x^2+5x-4\)

c) \(f(x)=x^2-2x\)

d) \(f(x)=x^2\)

e) \(f(x)=x^2+6x+10\)

Pamiętaj
Wyróżnik równania kwadratowego oblicza się ze wzoru:
\(\Delta=b^2-4ac\)
Miejsca zerowe jeśli istnieją obliczamy z wzoru:
\(x_1=\frac{-b + \sqrt{ \Delta }}{ 2a}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-b - \sqrt{ \Delta }}{2a}\)

Rozwiązanie
a)
\(f(x)=x^2-8x+12\)

Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=1;b=-8;c=12\), następnie obliczmy deltę.

\(\Delta=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16\)

Delta jest dodatnia więc funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4\)

\(x_1=\frac{-(-8) + 4 }{ 2\cdot 1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-(-8) - 4 }{ 2\cdot 1}\)

\(x_1=\frac{8 + 4 }{ 2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{8 - 4 }{ 2}\)

\(x_1=\frac{12 }{ 2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{4 }{ 2}\)

\(x_1=6 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = 2\)

Odpowiedź:
Wyróżnik funkcji kwadratowej to \(\Delta=16\), miejsca zerowa to \(x=6\) oraz \(x=2\).

b)
\(f(x)=-x^2+5x-4\)

Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=-1;b=5;c=-4\), następnie obliczmy deltę.

\(\Delta=5^2-4\cdot (-1)\cdot (-4)=25-16=9\)

Delta jest dodatnia więc funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{9}=3\)

\(x_1=\frac{-5+3}{ 2\cdot (-1)}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-5-3}{ 2\cdot (-1)}\)

\(x_1=\frac{-2}{-2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-8}{ -2}\)

\(x_1=1 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = 4\)

Odpowiedź:
Wyróżnik funkcji kwadratowej to \(\Delta=9\), miejsca zerowa to \(x=1\) oraz \(x=4\).

c)
\(f(x)=x^2-2x\)

Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=1;b=-2;c=0\), następnie obliczmy deltę.

\(\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 0=4-0=4\)

Delta jest dodatnia więc funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{4}=2\)

\(x_1=\frac{-(-2)+2}{ 2\cdot 1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-(-2)-2}{ 2\cdot 1}\)

\(x_1=\frac{2+2}{ 2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{2-2}{ 2}\)

\(x_1=\frac{4}{ 2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{0}{ 2}\)

\(x_1= 2 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = 0\)

Odpowiedź:
Wyróżnik funkcji kwadratowej wynosi \(\Delta=9\), miejsca zerowa to \(x=2\) oraz \(x=0\).

d)
\(f(x)=x^2\)

Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=1;b=0;c=0\), następnie obliczmy deltę.

\(\Delta=0^2-4\cdot 1\cdot 0=0-0=0\)

Delta jest dodatnia więc funkcja kwadratowa posiada jedno miejsce zerowe.

\(x_1=x_2=\frac{-(-2)}{ 2\cdot 1}\)

\(x_1=x_2=\frac{2}{ 2}\)

\(x_1=x_2=1\)

Odpowiedź:
Wyróżnik funkcji kwadratowej wynosi \(\Delta=0\), miejsce zerowe to \(x=1\).

e)
\(f(x)=x^2+6x+10\)

Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=1;b=6;c=10\), następnie obliczmy deltę.

\(\Delta=6^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4\)

Delta jest ujemna, oznacza to, że funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych.

Odpowiedź:
Wyróżnik funkcji kwadratowej wynosi \(\Delta=0\), funkcja nie posiada miejsc zerowych.