Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Miejsca zerowe funkcji kwadratowej – Zadanie 2powrót do artykułu głównego

Oblicz miejsca zerowe podanych funkcji
a) \(f(x)=3x^2+x-2\)

b) \(f(x)=x^2-x-12\)

c) \(f(x)=3x^2-4x-7\)

d) \(f(x)=x^2-2x-3\)

Pamiętaj
Wyróżnik równania kwadratowego oblicza się ze wzoru:
\(\Delta=b^2-4ac\)
Miejsca zerowe jeśli istnieją obliczamy z wzoru:
\(x_1=\frac{-b + \sqrt{ \Delta }}{ 2a}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-b - \sqrt{ \Delta }}{2a}\)

Rozwiązanie
a)
\(f(x)=3x^2+x-2\)

Wyznaczamy wartość wyróżnika delta na podstawie odczytanych z wzoru funkcji parametrów \(a=3;b=1;c=-2\).

\(\Delta=1^2-4\cdot 3\cdot (-2)=1+24=25\)

Funkcja posiada dwa miejsca zerowe, ponieważ delta jest dodatnia.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{25}=5\)

\(x_1=\frac{-1 + 5}{ 2\cdot 3}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-1 - 5}{ 2\cdot 3}\)

\(x_1=\frac{4}{6}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-6}{6}\)

\(x_1=\frac{2}{3}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = -1\)

Odpowiedź:
miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są \(x=-1\) oraz \(x=\frac{2}{3}\).

b)
\(f(x)=x^2-x-12\)

Wyznaczamy wartość wyróżnika delta na podstawie odczytanych z wzoru funkcji parametrów \(a=1;b=-1;c=-12\).

\(\Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+24=25\)

Funkcja posiada dwa miejsca zerowe, ponieważ delta jest dodatnia.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{25}=5\)

\(x_1=\frac{-(-1) + 5}{ 2\cdot 1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-(-1) - 5}{ 2\cdot 1}\)

\(x_1=\frac{1+ 5}{ 2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{1 - 5}{ 2}\)

\(x_1=\frac{6}{ 2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-4}{ 2}\)

\(x_1=3 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = -2\)

Odpowiedź:
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są \(x=3\) oraz \(x=-2\).

c)
\(f(x)=3x^2-4x-7\)

Wyznaczamy wartość wyróżnika delta na podstawie odczytanych z wzoru funkcji parametrów \(a=3;b=-4;c=-7\).

\(\Delta=(-4)^2-4\cdot 3\cdot (-7)=16+84=100\)

Funkcja posiada dwa miejsca zerowe, ponieważ delta jest dodatnia.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{100}=10\)

\(x_1=\frac{-(-4) + 10}{ 2\cdot 3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-(-4) - 10}{ 2\cdot 3}\)

\(x_1=\frac{4 + 10}{ 6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{4 - 10}{ 6}\)

\(x_1=\frac{4 + 10}{ 6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{4 - 10}{ 6}\)

\(x_1=\frac{14}{ 6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-6}{ 6}\)

\(x_1= 2\frac{1}{3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = -1\)

Odpowiedź:
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są \(x=2\frac{1}{3}\) oraz \(x=-1\).

d)
\(f(x)=x^2-2x-3\)

Wyznaczamy wartość wyróżnika delta na podstawie odczytanych z wzoru funkcji parametrów \(a=1;b=-2;c=-3\).

\(\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16\)

Funkcja posiada dwa miejsca zerowe, ponieważ delta jest dodatnia.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4\)

\(x_1=\frac{-(-2) + 4}{ 2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-(-2) - 4}{ 2\cdot 1}\)

\(x_1=\frac{2 + 4}{ 2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{2 - 4}{ 2}\)

\(x_1=\frac{6}{ 2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = \frac{-2}{ 2}\)

\(x_1=3 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2 = -1\)

Odpowiedź:
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są \(x=3\) oraz \(x=-1\).