Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Nierówności liniowe – Zadanie 3powrót do artykułu głównego

Rozwiąż nierówność, wyniki przedstaw na osi liczbowej
a) \( \frac{x}{3}+\frac{x+1}{3}>1\)

b) \( \frac{x+3}{2}+\frac{2x+1}{4}>\frac{3}{8}\)

c) \( \frac{5-x}{6}+\frac{1-x}{4}\leqslant \frac{1}{3}\)

d) \( x+\frac{x}{2}+\frac{x+5}{4}\leqslant \frac{x-2}{2}\)

Rozwiązanie
a)
\( \frac{x}{3}+\frac{x+1}{3}>1\)

Na początku pozbędziemy się ułamków, mnożąc przez wspólny mianownik ułamków w przykładzie, czyli 3.

\(\frac{x}{3}+\frac{x+1}{3}>1 \:\: / \: \cdot 3\)

\(3\cdot \frac{x}{3}+3\cdot \frac{x+1}{3}>3\cdot 1\)

\(x+(x+1)>3\)

\(x+x+1>3\)

\(x+x>3-1\)

\(2x>2 \:\: / \: :2\)

\(x>1\)
Nanosimy na oś liczbową:
Nierówności liniowe
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \(x \: \epsilon \: (1;+\infty)\).

b)
\( \frac{x+3}{2}+\frac{2x+1}{4}>\frac{3}{8}\)

Zaczynamy od pozbycia się ułamków, przez pomnożenie całej nierówności przez 8.

\(\frac{x+3}{2}+\frac{2x+1}{4}>\frac{3}{8} \:\: / \: \cdot 8\)

\(8\cdot \frac{x+3}{2}+8\cdot \frac{2x+1}{4}>8\cdot \frac{3}{8}\)

\(4(x+3)+2(2x+1)>3\)

\(4x+12+4x+2>3\)

\(4x+4x>3-12-2\)

\(8x>-11 \:\: / \: :8\)

\(x>-\frac{11}{8}\)

\(x>-1\frac{3}{8}\)

Nanosimy na oś liczbową:
Nierówności liniowe
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \(x \: \epsilon \: \left ( -1\frac{3}{8};+\infty \right )\).

c)
\( \frac{5-x}{6}+\frac{1-x}{4}\leqslant \frac{1}{3}\)

Pozbywamy się ułamków, mnożąc przez liczbę będącą wspólnym mianownikiem ułamków i rozwiązujemy.

\(\frac{5-x}{6}+\frac{1-x}{4}\leqslant \frac{1}{3} \:\: / \cdot 12\)

\(12\cdot \frac{5-x}{6}+12\cdot \frac{1-x}{4}\leqslant 12\cdot \frac{1}{3}\)

\(2(5-x)+3(1-x)\leqslant 4\)

\(10-2x+3-3x\leqslant 4\)

\(-2x-3x\leqslant 4-10-3\)

\(-5x\leqslant -9 \:\: / :(-5)\)

\(x\geqslant \frac{9}{5}\)

\(x\geqslant 1\frac{4}{5}\)

Nanosimy na oś liczbową:
Nierówności liniowe
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \( x \: \epsilon \: \left \langle 1\frac{4}{5};+\infty \right ) \).

d)
\( x+\frac{x}{2}+\frac{x+5}{4}\leqslant \frac{x-2}{2}\)

Pozbywamy się ułamków, przez pomnożenie całej nierówności przez 4.

\(x+\frac{x}{2}+\frac{x+5}{4}\leqslant \frac{x-2}{2} \:\: / \: \cdot 4\)

\(4\cdot x+4\cdot \frac{x}{2}+4\cdot \frac{x+5}{4} \leqslant 4\cdot \frac{x-2}{2} \)

\(4x+2x+(x+5) \leqslant 2(x-2)\)

\(4x+2x+x+5 \leqslant 2x-4\)

\(4x+2x+x-2x \leqslant -4-5\)

\(5x \leqslant -9 \:\: / \: :5\)

\(x\leqslant -\frac{9}{5}\)

\(x\leqslant -1\frac{4}{5}\)

Nanosimy na oś liczbową:
Nierówności liniowe
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \( x \: \epsilon \: \left ( -\infty;-1\frac{4}{5} \right \rangle \).