Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Nierówności logarytmiczne – Zadanie 1 powrót do artykułu głównego 

Rozwiąż nierówność:

a) \(\log_{5} (-3-7x)\leqslant 2\)

b) \(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant -2\)

c) \( \log_{4} (x+7)\geqslant 2-\log_{4} (3-x)\)

d) \(\log_{\frac{1}{6}} (x+2)<-1-\log_{\frac{1}{6}} (2x-5)\)

Rozwiązanie
a)
\(\log_{5} (-3-7x)\leqslant 2\)

Rozwiązywanie nierówności z logarytmem zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.

\(-3-7x>0\)

\(-7x>3\)

\(x<-\frac{3}{7}\)

Dziedziną nierówności jest \(x\: \epsilon \:\left ( -\infty;-\frac{3}{7}\right )\).

Przystępujemy do rozwiązywania:

\(\log_{5} (-3-7x)\leqslant \log_{5} 5^2\)

Po obu stronach nierówności mamy logarytmy, więc możemy je opuścić. Podstawa logarytmu jest większa niż 1, więc nie zmieniamy znaku w nierówności.

\(-3-7x\leqslant 5^2\)

\(-7x\leqslant 25+3\)

\(-7x\leqslant 28\: / \: : \:(-7)\)

\(x\geqslant -4\)

Sprawdzamy czy otrzymane rozwiązanie zawiera się w dziedzinie. Otrzymujemy więc:

\(x\: \epsilon \: \left \langle -4;-\frac{3}{7} \right )\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \(x\: \epsilon \: \left \langle -4;-\frac{3}{7} \right )\) .


b)
\(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant -2\)

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.

\(2x+5>0\)

\(2x>-5\)

\(x>-2\frac{1}{2}\)

Dziedziną nierówności jest: \(x\: \epsilon \: (-2\frac{1}{2};+\infty)\)

Przystępujemy do rozwiązywania:

\(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant -2\)

\(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant \log_{\frac{1}{3}}\left ( \frac{1}{3} \right )^{-2}\)

\(\log_{\frac{1}{3}} (2x+5)\geqslant \log_{\frac{1}{3}} 9\)

Po obu stronach nierówności mamy logarytm, możemy więc go opuścić. Podstawa logarytmu jest mniejsza niż 1, więc przy opuszczaniu logarytmów zmieniamy znak nierówności.

\(2x+5\leqslant 9\)

\(2x\leqslant 9-5\)

\(2x\leqslant 4\)

\(x\leqslant 2\)

Otrzymany wynik sprawdzamy z dziedzina i otrzymujemy:

\(x\: \epsilon \: \left ( -2\frac{1}{2};2 \right )\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności z logarytmem jest \(x\: \epsilon \: \left ( -2\frac{1}{2};2 \right )\) .


c)
\( \log_{4} (x+7)\geqslant 2-\log_{4} (3-x)\)

Najpierw sprawdzamy dziedzinę funkcji:

\(x+7>0\)     i     \(3-x>0\)

\(x>-7\)     i     \(x<3\)

Dziedziną funkcji jest: \(x\: \epsilon \: (-7;3)\) .

Przystępujemy do rozwiązywania nierówności:

\(\log_{4} (x+7)\geqslant 2-\log_{4} (3-x)\)

\(\log_{4} (x+7)+\log_{4} (3-x)\geqslant 2\)

\(\log_{4} \left ( (x+7)\cdot (3-x) \right )\geqslant \log_{4} 4^2\)

\(\log_{4} ( x^2-4x+21 )\geqslant \log_{4} 16\)

Po obu stronach nierówności jest logarytm o tej samej podstawie, możemy więc go opuścić. Podstawą logarytmów jest liczba większa od 1, więc przy opuszczaniu logarytmów nie zmieniamy znaku nierówności.

\(-x^2-4x+21 \geqslant 16\)

\(-x^2-4x+21 -16\geqslant 0\)

\(-x^2-4x+5\geqslant 0\)

Jest to postać nierówności kwadratowej.

\(\Delta =(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot 5=16+20=36\)

\(\sqrt{\Delta}=6\)

\(x_1=\dfrac{4-6}{-2}\)      i      \(x_2=\dfrac{4+6}{-2}\)

\(x_1=\dfrac{-2}{-2}\)      i      \(x_2=\dfrac{10}{-2}\)

\(x_1=1\)           i          \(x_2=-5\)

Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi, więc parabola będąca poniżej osi OX znajduje się w przedziałach:

\(x \: \epsilon \: (-\infty;-5) \cup (1;+\infty)\)

Trzeba uwzględnić jeszcze dziedzinę nierówności \(x\: \epsilon \: (-7;3)\).

Więc wynikiem nierówności będzie:

\(x\: \epsilon \: (-7;-5) \cup (1;3)\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności z logarytmem jest: \(x\: \epsilon \: (-7;-5) \cup (1;3)\)


d)
\(\log_{\frac{1}{6}} (x+2)<-1-\log_{\frac{1}{6}} (2x-5)\)

Zadanie zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.

\(x+2>0\)      i      \(2x-5>0\)

\(x>-2\)      i      \(x>2\frac{1}{2}\)

Więc dziedziną nierówności jest \(x\: \epsilon \: \left ( 2\frac{1}{2};+\infty \right )\)

Rozwiązujemy nierówność z logarytmem:

\(\log_{\frac{1}{5}} (x+2)<-1-\log_{\frac{1}{5}} (2x-5)\)

\(\log_{\frac{1}{5}} (x+2)+\log_{\frac{1}{5}} (2x-5)<-1\)

\(\log_{\frac{1}{5}} ((x+2)\cdot (2x-5))< \log_{\frac{1}{5}}\left ( \frac{1}{5} \right )^{-1}\)

\(\log_{\frac{1}{5}} (2x^2-x-10)< \log_{\frac{1}{5}} 5\)

Po obu stronach nierówności mamy logarytm z tą samą podstawą. Oznacza to, że możemy opuścić logarytm. Podstawą logarytmu jest liczba mniejsza niż jeden, oznacza to, że przy opuszczaniu logarytmu zmieniamy, znak nierówności.

\(2x^2-x-10> 5\)

\(2x^2-x-10-5> 0\)

\(2x^2-x-15> 0\)

Doprowadziliśmy do postaci nierówności kwadratowej, więc obliczamy deltę:

\(\Delta= (-1)^2-4\cdot 2\cdot (-15)=1+120=121\)

\(\sqrt{\Delta}=11\)

\(x_1=\dfrac{1+11}{2\cdot2}\)      i      \(x_2=\dfrac{1-11}{2\cdot2}\)

\(x_1=\dfrac{12}{4}\)      i      \(x_2=\dfrac{-10}{4}\)

\(x_1=3\)        i        \(x_2=-2\dfrac{1}{2}\)

Parabola ma ramiona skierowane ku górze, więc obszar w których znajduje się nad osią OX to:

\(x\: \epsilon \: \left ( -\infty; -2\dfrac{1}{2} \right ) \cup \left (3;+\infty \right )\)

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy:

\(x\: \epsilon \: (3;+\infty )\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności z logarytmem jest \(x\: \epsilon \: (3;+\infty )\) .