Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Nierówności z wartością bezwzględną – Zadanie 3 powrót do artykułu głównego 

Rozwiąż nierówność:

a) \(||x-3|-5|\geqslant 2\)     b) \(||x-4|-6|>3\)     c) \(||x+3|-7|<2\)

Rozwiązanie

a)
\(||x-3|-5|\geqslant 2\)

\(|x-3|-5\geqslant 2\)                               lub                 \(|x-3|-5\leqslant -2\)

\(|x-3|\geqslant 7\)                                         lub                \(|x-3|\leqslant 3\)

\(x-3\geqslant 7\)    lub    \(x-3\leqslant -7\)            \(x-3\leqslant 3\)     i     \(x-3\geqslant -3\)

\(x\geqslant 10\)          lub        \(x\leqslant -4\)                          \(x\leqslant 6\)     i     \(x\geqslant 0\)

Z nierówności \(x\geqslant 10 \:\:\: lub \:\:\: x\leqslant -4\) otrzymujemy:

\( x\epsilon \left ( -\infty;-4 \right \rangle \cup \left \langle 10;+\infty \right )\),

Z nierówności \( x\leqslant 6 \:\:\: i \:\:\: x\geqslant 0\) otrzymujemy:

\( x \epsilon \left \langle 0;6 \right \rangle\)

Razem więc mamy:

\( x\epsilon \left ( -\infty;-4 \right \rangle \cup \left \langle 0;6 \right \rangle \cup \left \langle 10;+\infty \right )\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest: \( x\epsilon \left ( -\infty;-4 \right \rangle \cup \left \langle 0;6 \right \rangle \cup \left \langle 10;+\infty \right )\).

b)
\(||x-4|-6|>3\)

\(||x-4|-6|>3\)

\(|x-4|-6>3\)          lub          \(|x-4|-6<-3\)

\(|x-4|>9\)            lub            \(|x-4|<3\)

\(x-4>9\)      lub     \(x-4<-9\)     \(x-4<3\)     i     \(x-4>-3 \)

\(x>13\)     lub     \(x<-5\)     \(x<7\)     i     \(x>1 \)


Z nierówności \( x>13 \:\:\: lub \:\:\: x<-5\) otrzymujemy:

\(x \epsilon (-\infty;-5) \cup (13;+\infty)\)

Z nierówności \(x<7\)   i   \(x>1 \) otrzymujemy:

\(x \epsilon (1;7)\)

Razem, więc mamy:

\(x \epsilon (-\infty;-5) \cup (1;7) \cup (13;+\infty)\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności \(||x-4|-6|>3\) jest:

\(x \epsilon (-\infty;-5) \cup (1;7) \cup (13;+\infty)\).

c)
\(||x+3|-7|<2\)

\(|x+3|-7<2\)     i     \(|x+3|-7>-2\)


\(|x+3|<9\)     i     \(|x+3|>5\)


\(x+3<9\)     i     \(x+3>-9\)     \(x+3>5\)     lub     \(x+3<-5\)


\(x<6\)     i     \(x>-12\)     \(x>2\)     lub    \(x<-8\)


Z nierówności \(x<6\)   i   \(x>-12\) otrzymujemy:

\(x \epsilon (-12;6)\)

Z nierówności \(x>2 \:\:\: lub \:\:\: x<-8\) otrzymujemy:

\(x \epsilon (-\infty;-8)\cup (2;+\infty)\)

Następnie bierzemy część wspólną z tych wyników i otrzymujemy:

\(x\epsilon (-12;-8)\cup (2;6)\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \(x\epsilon (-12;-8)\cup (2;6)\).


Zadanie 1

Zadanie 2
 

Zadanie 4