Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Nierówności z wartością bezwzględną – Zadanie 4 

powrót do artykułu głównego  Rozwiąż nierówności:

a) \(|x-5|+|x+6|>11\)     b) \(|x+1|+|x-2|<4\)

c) \(|x+1|+|2-x|+|x-3|\leqslant 11\)

Aby rozwiązać nierówność tego typu najpierw podzielimy nierówność na kilka przypadków, zależnych od przyjmowanego znaku wyrażenia pod wartością bezwzględną.

Rozwiązanie

a)
\(|x-5|+|x+6|>11\)

Na początku postępujemy jak przy równaniu, czyli sprawdzamy, kiedy \(x-5\) oraz \(x+6\) przyjmuje wartości ujemne a kiedy większe bądź równe zero.

\(x-5 \geqslant 0 \:\:\:\:\:\:\: x+6 \geqslant 0\)

\(x \geqslant 5 \:\:\:\:\:\:\: x \geqslant -6\)

Te wyniki wskazują przedziały, w jakich będziemy rozwiązywali naszą nierówność, dla łatwiejszego zobrazowania lepiej najpierw nanieść je na oś:

Nierówności z wartością bezwzględną

Rozwiązywanie nierówności podzielimy na trzy części zgodnie z przedziałami wyznaczonymi na osi.

1) dla \( x \: \epsilon \: (-\infty;-6)\)

Wyrażenia \(x-5\) oraz \(x+6\) w danym przedziale przyjmują wartości ujemne, dlatego przy opuszczaniu wartości bezwzględnych zmienimy ich znak.

\(|x-5|+|x+6|>11\)

\(-(x-5)-(x+6)>11\)

\(-x+5-x-6>11\)

\(-2x>11-5+6\)

\(-2x>12\)

\(x<-6\)

Rozwiązując nierówność otrzymaliśmy \(x \: \epsilon \: (-\infty,-6)\) należy to do przedziału więc \(x \: \epsilon \: (-\infty,-6)\) jest rozwiązaniem nierówności.

2) dla \( x \: \epsilon \: \left \langle -6;5 \right )\)

W podanym przedziale wyrażenie \(x-5\) przyjmuje wartości ujemne, dlatego opuszczając wartość bezwzględną zmienimy znak wyrażenia. Wyrażenie \(x+6\) w podanym przedziale przyjmuje wartości dodatnie, dlatego opuszczając wartość bezwzględna nie zmieniamy znaku wyrażenia.

\(|x-5|+|x+6|>11\)

\(-(x-5)+x+6>11\)

\(-x+5+x+6>11\)

\(11>11\)

Rozwiązując nierówność otrzymaliśmy wyrażenie sprzeczne, ponieważ 11 nie jest większe od 11. Oznacza to, że w przedziale \(\left \langle -6;5 \right )\) nie ma \(x\)-ów będących rozwiązaniem nierówności.

3) dla \( x \: \epsilon \: \left \langle 5;+\infty \right )\)

W podanym przedziale wyrażenia \(x-5\) oraz \(x+6\) przyjmując wartości dodatnie, oznacza to, że opuszczając wartość bezwzględną nie zmieniamy znaków wyrażeń.

\(|x-5|+|x+6|>11\)

\(x-5+x+6>11\)

\(2x>11+5-6\)

\(2x>10\)

\(x>5\)

Rozwiązując nierówność otrzymaliśmy \(x \epsilon (5;+\infty)\), należy on do naszego przedziału. Oznacza to, że rozwiązaniem nierówności jest \(x \epsilon (5;+\infty)\).

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \( x \: \epsilon \: (-\infty,-6) \: \cup \: (5;+\infty)\).

b)
\(|x+1|+|x-2|<4\)

Na początku sprawdzamy, kiedy \(x+1\) oraz \(x-2\) przyjmuje wartości ujemne a kiedy większe bądź równe zero.

\(x+1 \geqslant 0 \:\:\:\:\:\:\: x-2 \geqslant 0\)

\(x \geqslant -1 \:\:\:\:\:\:\: x \geqslant 2\)

Te wyniki wskazują przedziały, w jakich będziemy rozwiązywali naszą nierówność, dla łatwiejszego zobrazowania naniesiemy je na oś:

nierówność wartość bezwzględna

Zgodnie z wyznaczonymi przedziałami: 1) \( (-\infty;-1)\) ; 2) \( \left \langle -1;2 \right )\) ; 3) \( \left \langle 2;+\infty \right )\), będziemy rozwiązywać nierówność w trzech etapach.

1) dla \( x \: \epsilon \: (-\infty;-1)\)

W tym przedziale wyrażenia \(x+1\) oraz \(x-2\) przyjmują wartości ujemne, dlatego przy opuszczaniu wartości bezwzględnej zmienimy znak obu wyrażeń:

\(|x+1|+|x-2|<4\)

\(|x+1|+|x-2|<4\)

\(-(x+1)-(x-2)<4\)

\(-x-1-x+2<4\)

\(-2x<4+1-2\)

\(-2x<3\)

\(x>-1\frac{1}{2}\)

Rozwiązując nierówność otrzymaliśmy \(x \: \epsilon \: (-1\dfrac{1}{2};+\infty)\) jednak całość rozpatrujemy tylko w przedziale \((-\infty;-1)\). Co oznacza, że musimy wybrać część wspólną tych zbiorów, a więc:

\((-1\dfrac{1}{2};+\infty) \cap (-\infty;-1) = (-1\dfrac{1}{2};-1)\)

Rozwiązaniem nierówności w tym przedziale jest więc \(x \: \epsilon \: (-1\dfrac{1}{2};-1)\).

2) dla \(x\: \epsilon \: \left \langle -1;2 \right )\)

W tym przedziale wyrażenie \(x+1\) przyjmuje wartości dodatnie, dlatego przy opuszczaniu wartości bezwzględnej nie zmienimy znaku tego wyrażenia. Wyrażenie \(x-2\) w tym przedziale przyjmuje wartości ujemne, przy opuszczaniu wartości bezwzględnej zmieniamy znak wyrażenia.

\(|x+1|+|x-2|<4\)

\(x+1-(x-2)<4\)

\(x+1-x+2<4\)

\(3<4\)

Otrzymaliśmy wyrażenie zawsze prawdziwe, oznacza to, że w tym przedziale wszystkie \(x\) są rozwiązaniem. Podsumowując, rozwiązaniem równania w tym przedziale jest \(x\: \epsilon \: \left \langle -1;2 \right )\).

3) dla \(x \: \epsilon \: \left \langle 2;+\infty \right )\)

w tym przedziale wyrażenia przyjmują wartości dodatnie. Oznacza to, że opuszczając wartość bezwzględna nie zmieniamy ich znaku:

\(|x+1|+|x-2|<4\)

\(x+1+x-2<4\)

\(2x<4-1+2\)

\(2x<5\)

\(x<2\dfrac{1}{2}\)

Otrzymaliśmy \(x\: \epsilon (-\infty;2\dfrac{1}{2})\) jednak rozpatrując to w przedziale \(\left \langle 2;+\infty \right )\), rozwiązaniem nierówności w danym przedziale jest: \( \left \langle 2; 2\dfrac{1}{2} \right )\).

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \(x\: \left( -1\dfrac{1}{2}; 2\dfrac{1}{2} \right )\)

c)
\(|x+1|+|x-2|+|x-3|\leqslant 11\)

Na początku sprawdzamy, kiedy wyrażenia \(x+1\), \(x-2\) oraz \(x-3\) przyjmują wartości ujemne a kiedy większe bądź równe zero.

\(x+1 \geqslant 0 \:\:\:\:\:\:\: x-2 \geqslant 0 \:\:\:\:\:\:\: x-3 \geqslant 0\)

\(x \geqslant -1 \:\:\:\:\:\:\: x \geqslant 2 \:\:\:\:\:\:\: x \geqslant 3\)

Te wyniki wskazują przedziały, w jakich będziemy rozwiązywali naszą nierówność, dla łatwiejszego zobrazowania naniesiemy je na oś:

wartość bezwzględna nierówność

Po naniesieniu na oś mamy wyznaczone cztery przedziały: 1) \((-\infty;-1)\); 2) \(\left \langle -1;2 \right )\), 3) \(\left \langle 2;3 \right )\), 4) \(\left \langle 3;+\infty \right )\).

1) dla \(x \: \epsilon \: (-\infty;-1)\)

Wyrażenia \(x+1\), \(x-2\) oraz \(x-3\) przyjmują wartości ujemne, oznacza to, że przy opuszczaniu wartości bezwzględnej zmienimy znak wyrażeń:

\(|x+1|+|x-2|+|x-3|\leqslant 11\)

\(-(x+1)-(x-2)-(x-3)\leqslant 11\)

\(-x-1-x+2-x+3\leqslant 11\)

\(-3x\leqslant 7\)

\(x\geqslant -2\dfrac{1}{3}\)

Rozwiązując nierówność otrzymaliśmy \((-2\dfrac{1}{3};+\infty)\) trzeba jednak rozpatrywać go w przedziale \((-\infty;-1)\). Rozwiązaniem nierówności w danym przedziale jest \( x \: (-2\dfrac{1}{3};-1)\).

2) dla \(x \: \epsilon \: \left \langle -1;2 \right )\)

Dla tego przedziału tylko \(x+1\) przyjmuje wartości dodatnie (więc przy opuszczaniu wartości bezwzględnej nie zmieniamy znaku), w pozostałych wyrażeniach zmieniamy znak.

\(|x+1|+|x-2|+|x-3|\leqslant 11\)

\(x+1-(x-2)-(x-3)\leqslant 11\)

\(x+1-x+2-x+3\leqslant 11\)

\(-x\leqslant 11-6\)

\(-x\leqslant 5\)

\(x\geqslant -5\)

Otrzymaliśmy rozwiązanie \(\left \langle -5;+\infty \right )\) jednak w danym przedziale będzie rozwiązaniem nierówności będzie \(x\: \epsilon \left \langle -1;2 \right )\).

3) dla \(x \: \epsilon \left \langle 2;3 \right )\)

W danym przedziale przy opuszczaniu wartości bezwzględnych nie zmieniamy znaku w wyrażeniach \(x+1\) oraz \(x-2\), natomiast w wyrażeniu \(x-3\) następuje zmiana znaku.

\(|x+1|+|x-2|+|x-3|\leqslant 11\)

\(x+1+x-2-(x-3)\leqslant 11\)

\(x+1+x-2-x+3\leqslant 11\)

\(x\leqslant 9\)

Mamy \(\left ( -\infty;9 \right \rangle\) rozpatrując jednak w przedziale \(\left \langle 2;3 \right )\) otrzymujemy rozwiązanie \(x \: \epsilon \left \langle 2;3 \right )\).

4) dla \(x \: \epsilon \left \langle 3;+\infty \right )\)

Wszystkie wyrażenia w tym przedziale przyjmują wartości dodatnie, co oznacza, że opuszczając wartości bezwzględne nie zmieniamy ich znaku:

\(|x+1|+|x-2|+|x-3|\leqslant 11\)

\(x+1+x-2+x-3\leqslant 11\)

\(3x\leqslant 11+4\)

\(3x\leqslant 15\)

\(x\leqslant 5\)

Po uwzględnieniu rozwiązania i przedziału otrzymujemy rozwiązanie \(x \: \epsilon \left \langle 3;5 \right )\).

Rozwiązaniem nierówności jest suma wszystkich rozwiązań, czyli:

\((-2\dfrac{1}{3};-1) \cup \left \langle -1;2 \right ) \cup \left \langle 2;3 \right ) \cup \left \langle 2;5 \right )=(-2\dfrac{1}{3};5)\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \(x \: \epsilon \: (-2\dfrac{1}{3};5)\).



Zadanie 1 

Zadanie 2 

Zadanie 3