Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej – Zadanie 3powrót do artykułu głównego

Przekształć podaną funkcje na postać kanoniczną i iloczynową.
a) \(f(x)=2x^2+3x+7\)

b) \(f(x)=5x^2-2\)

c) \(f(x)=x^2-3x-7\)

d) \(f(x)=3x-2x^2-8\)

e) \(f(x)=90+x^2-3x\)

Zapamiętaj
Postać ogólna - \(f(x)=ax^2+bx+c\)

Postać kanoniczna - \(f(x)=a(x-p)^2+q\)

Postać iloczynowa - \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Rozwiązanie
a)
\(f(x)=2x^2+3x+7\)

Aby doprowadzić do postaci kanonicznej należy obliczyć wartość \(p=-\frac{b}{2a}\) oraz \(q=-\frac{\Delta}{4a}\) i podstawić do wzoru.
Aby doprowadzić do postaci iloczynowej należy obliczyć \(\Delta=b^2-4ac\) a następnie jeśli istnieją obliczyć \(x_1\) oraz \(x_2\).
Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=2;b=3;c=7\) i obliczamy:

\(p=-\frac{3}{2\cdot 2}=-\frac{3}{4}\)

\(\Delta=3^2-4\cdot 2\cdot 7=9-56=-47\)

\(q=-\frac{-47}{4\cdot 2}=-\frac{-47}{8}=5\frac{7}{8}\)

Postać kanoniczna to:

\(f(x)=2 \left ( x-(-\frac{3}{4}) \right )^2+5\frac{7}{8}\)

po uproszczeniu:

\(f(x)=2 \left ( x+\frac{3}{4} \right )^2+5\frac{7}{8}\)

Postać iloczynowa istnieje tylko wtedy gdy delta jest większa lub równa zero. W naszym przypadku mamy deltę ujemną więc postać iloczynowa funkcji kwadratowej nie istnieje.

Odpowiedź:
Postać kanoniczna funkcji to \(f(x)=2 \left ( x+\frac{3}{4} \right )^2+5\frac{7}{8}\); postać iloczynowa nie istnieje.

b)
\(f(x)=5x^2-2\)

Aby doprowadzić do postaci kanonicznej należy obliczyć wartość \(p=-\frac{b}{2a}\) oraz \(q=-\frac{\Delta}{4a}\) i podstawić do wzoru.
Aby doprowadzić do postaci iloczynowej należy obliczyć \(\Delta=b^2-4ac\) a następnie jeśli istnieją obliczyć \(x_1\) oraz \(x_2\).
Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=5;b=0;c=-2\) i obliczamy:

\(p=-\frac{0}{2\cdot 5}=-\frac{0}{10}=0\)

\(\Delta=0^2-4\cdot 5\cdot (-2)=0+40=40\)

\(q=-\frac{40}{4\cdot 5}=-\frac{40}{20}=-2\)

Postać kanoniczna to:

\(f(x)=5(x-0)^2-2\)

Po uproszczeniu:

\(f(x)=5x^2-2\)

Następnie obliczamy \(x_1\) oraz \(x_2\) do postaci kanonicznej.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)

\(x_1=\frac{-0-2\sqrt{10}}{2\cdot 5} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-0+2\sqrt{10}}{2\cdot 5}\)

\(x_1=\frac{-2\sqrt{10}}{10} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{2\sqrt{10}}{10}\)

\(x_1=-\frac{\sqrt{10}}{5} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{\sqrt{10}}{5}\)

Postać iloczynowa to:

\( f(x)=5 \left ( x-(-\frac{\sqrt{10}}{5}) \right )\left ( x+\frac{\sqrt{10}}{5} \right )\)

Po uproszczeniu

\(f(x)=5 \left ( x+\frac{\sqrt{10}}{5} \right )\left ( x-\frac{\sqrt{10}}{5} \right )\)

Odpowiedź:
Szukana postać kanoniczna to: \(f(x)=5x^2-2\); Szukana postać iloczynowa to: \(f(x)=5 \left ( x+\frac{\sqrt{10}}{5} \right )\left ( x-\frac{\sqrt{10}}{5} \right )\).


c)
\(f(x)=x^2-3x-6\frac{3}{4}\)

Aby doprowadzić do postaci kanonicznej należy obliczyć wartość \(p=-\frac{b}{2a}\) oraz \(q=-\frac{\Delta}{4a}\) i podstawić do wzoru.
Aby doprowadzić do postaci iloczynowej należy obliczyć \(\Delta=b^2-4ac\) a następnie jeśli istnieją obliczyć \(x_1\) oraz \(x_2\).
Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=1;b=-3;c=-7\) i obliczamy:

\(p=-\frac{-3}{2\cdot 1}=-\frac{-3}{2}=1\frac{1}{2}\)

\(\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-6\frac{3}{4})=9+27=36\)

\(q=-\frac{36}{4\cdot 1}=-\frac{36}{4}=-9\)

Postać kanoniczna to:

\(f(x)=1\cdot (x-1\frac{1}{2})^2-9\)

Po uproszczeniu:

\(f(x)=(x-1\frac{1}{2})^2-9\)

Następnie obliczamy \(x_1\) oraz \(x_2\) do postaci kanonicznej.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{36}=6\)

\(x_1=\frac{-(-3)-6}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-(-3)+6}{2\cdot 1}\)

\(x_1=\frac{3-6}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{3+6}{2}\)

\(x_1=\frac{-3}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{9}{2}\)

\(x_1=-1\frac{1}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=4\frac{1}{2}\)

Postać iloczynowa to:

\( f(x)= \left ( x-(-1\frac{1}{2}) \right )\left ( x+4\frac{1}{2} \right )\)

Po uproszczeniu

\( f(x)= \left ( x+1\frac{1}{2} \right )\left ( x+4\frac{1}{2} \right )\)

Odpowiedź:
Szukana postać kanoniczna to: \(f(x)=(x-1\frac{1}{2})^2-9\); Szukana postać iloczynowa to: \( f(x)= \left ( x+1\frac{1}{2} \right )\left ( x+4\frac{1}{2} \right )\).

d)
\(f(x)=3x-2x^2-8\)

Aby doprowadzić do postaci kanonicznej należy obliczyć wartość \(p=-\frac{b}{2a}\) oraz \(q=-\frac{\Delta}{4a}\) i podstawić do wzoru.
Aby doprowadzić do postaci iloczynowej należy obliczyć \(\Delta=b^2-4ac\) a następnie jeśli istnieją obliczyć \(x_1\) oraz \(x_2\).
Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=-2;b=3;c=-8\) i obliczamy:

\(p=-\frac{3}{2\cdot (-2)}=\frac{3}{4}\)

\(\Delta=3^2-4\cdot (-2)\cdot (-8)=9-64=-55\)

\(q=-\frac{-55}{4\cdot (-2)}=-\frac{55}{8}=-6\frac{7}{8}\)

Postać kanoniczna to:

\(f(x)=-2\cdot (x-\frac{3}{4})^2-6\frac{7}{8}\)

Postać iloczynowa nie istnieje ponieważ delta jest ujemna.

Odpowiedź:
Szukana postać kanoniczna to: \(f(x)=-2\cdot (x-\frac{3}{4})^2-6\frac{7}{8}\); Postać iloczynowa nie istnieje ponieważ delta jest ujemna.

e)
\(f(x)=90+x^2-3x\)

Aby doprowadzić do postaci kanonicznej należy obliczyć wartość \(p=-\frac{b}{2a}\) oraz \(q=-\frac{\Delta}{4a}\) i podstawić do wzoru.
Aby doprowadzić do postaci iloczynowej należy obliczyć \(\Delta=b^2-4ac\) a następnie jeśli istnieją obliczyć \(x_1\) oraz \(x_2\).
Z wzoru funkcji odczytujemy \(a=1;b=-3;c=90\) i obliczamy:

\(p=-\frac{-3}{2\cdot 1}=1\frac{1}{2}\)

\(\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 90=9-360=-351\)

\(q=-\frac{-351}{4\cdot 1}=\frac{351}{4}=87\frac{3}{4}\)

Postać kanoniczna to:

\(f(x)=1\cdot (x-1\frac{1}{2})^2+87\frac{3}{4}\)

Postać iloczynowa nie istnieje, ponieważ delta jest ujemna.

Odpowiedź:
Szukana postać kanoniczna to: \(f(x)=1\cdot (x-1 \frac{1}{2} )^2 + 87 \frac{3}{4} \); Postać iloczynowa nie istnieje, ponieważ delta jest ujemna.