Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej – Zadanie 4powrót do artykułu głównego

Przekształć podaną funkcje na postać ogólną i iloczynową.
a) \(f(x)=(x+2)^2-7\)

b) \(f(x)=2(x-1)^2+1\)

c) \(f(x)=-4(x+5)^2-3\)

d) \(f(x)=(x+1)^2\)

e) \(f(x)=-(x-0)^2\)

Aby z postaci iloczynowej otrzymać postać ogólną należy wymnożyć nawias i dodać do siebie wyrażenia.
Aby z postaci ogólnej otrzymać postać iloczynową należy obliczyć deltę \(\Delta=b^2-4ac\) a następnie jeśli delta jest większa lub równa zero obliczyć \(x_1\) oraz \(x_2\).

Zapamiętaj
Postać ogólna - \(f(x)=ax^2+bx+c\)

Postać kanoniczna - \(f(x)=a(x-p)^2+q\)

Postać iloczynowa - \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Rozwiązanie
a)
\(f(x)=(x+2)^2-7\)

\(f(x)=x^2+4x+4-7\)

Postać ogólna funkcji kwadratowej to:

\(f(x)=x^2+4x-3\)

Odczytujemy \(a=1;b=4;c=-3\)

\(\Delta=4^2-4\cdot 1\cdot (-3)=16-12=4\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{4}=2\)

\(x_1=\frac{-4-2}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-4+2}{2\cdot 1}\)

\(x_1=\frac{-6}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-2}{2}\)

\(x_1=-3 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=-1\)

Postać iloczynowa ma postać:

\(f(x)=1\cdot (x-(-3))(x-(-1))\)

Po uproszczeniu

\(f(x)=(x+3)(x+1)\)

Odpowiedź:
Szukana postać ogólna to: \(f(x)=x^2+4x-3\); Szukana postać iloczynowa to: \(f(x)=(x+3)(x+1)\).

b)
\(f(x)=2(x-1)^2+1\)

\(f(x)=2(x^2-2x+1)+1 \)

Postać ogólna funkcji kwadratowej to:

\(f(x)=2x^2-4x+3\)

Odczytujemy \(a=2;b=-4;c=3\)

\(\Delta=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 3=16-24=-8\)

Odpowiedź:
Szukana postać ogólna to: \(f(x)=2x^2-4x+3\); Szukana postać iloczynowa nie istnieje, ponieważ delta jest mniejsza od zera.

c)
\(f(x)=-4(x+5)^2-3\)

\(f(x)=-4(x^2+10x+25)-3\)

\(f(x)=-4x^2-40x-100-3\)

Po uproszczeniu otrzymujemy postać ogólną funkcji kwadratowej:

\(f(x)=-4x^2-40x-103\)

Mając postać ogólna łatwo odczytać współczynniki \(a=-4;b=-40;c=-103\)

\(\Delta=(-40)^2-4\cdot (-4)\cdot (-103)=1600-1648=-48\)

Ponieważ \(\Delta\) jest mniejsza od zera, postać iloczynowa nie istnieje.

Odpowiedź:
postać ogólna funkcji kwadratowej ma postać \(f(x)=-4x^2-40x-103\); postać iloczynowa nie istnieje ponieważ \(\Delta \) jest mniejsza od zera.

d)

\(f(x)=(x+1)^2\)

\(f(x)=x^2+2x+1\)

To jest postać ogólna.
Postać iloczynową obliczymy krok po kroku, jednak forma pierwotna funkcji jest tą postacią.
\(a=1;b=2;c=1\)

\(\Delta= 2^2-4\cdot 1 \cdot 1=4-4=0\)

\(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\)

\(x_1=x_2=-\frac{2}{2\cdot 1}=-\frac{2}{2}=-1\)

\(f(x)=1\cdot (x-(-1))(x-(-1))\)

Po uproszczeniu

\(f(x)=(x+1)(x+1)\)

Odpowiedź:
Szukana postać ogólna to : \(f(x)=x^2+2x+1\); szukana postać iloczynowa to \(f(x)=(x+1)(x+1)\).

e)
\(f(x)=-(x-0)^2\)

\(f(x)=-(x)^2\)

\(f(x)=-x^2\)

Odpowiedź:
Postać ogólna to \(f(x)=-x^2\); postać iloczynowa to \(f(x)=-x\cdot x\).