Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Równania kwadratowe – Zadanie 2powrót do artykułu głównego

Z podanych równań kwadratowych wyznacz deltę \(\Delta\) oraz jeśli istnieją \(x_1\) oraz \(x_2\).
a) \(x^2+3x-2=0\)

b) \(x^2+4x+4=0\)

c) \(2x^2-12x-6\frac{1}{2}=0\)

d) \(-x^2+x-8=0\)

e) \(x^2+8x-20=0\)

Należy pamiętać o wzorach
\(\Delta=b^2-4ac\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

Rozwiązanie
a)
\(x^2+3x-2=0\)

Z podanego równania łatwo zauważyć, że \(a=1;b=3; c=-2\). Mając te dane, obliczamy deltę.

\(\Delta=3^2-4\cdot 1\cdot (-2)=9+8=17\)

Delta jest liczbą dodatnią, oznacza to, że istnieją dwa rozwiązania równania \(x_1\) oraz \(x_2\), obliczamy je więc:

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{17}\)

\(x_1=\frac{-3-\sqrt{17}}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{2\cdot 1}\)

\(x_1=\frac{-3-\sqrt{17}}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\)

Odpowiedź:
Szukana delta wynosi \(\Delta=17\), rozwiązanie równania to \(x_1=\frac{-3-\sqrt{17}}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}\)

b)
\(x^2+4x+4=0\)

Z podanego równania łatwo zauważyć, że \(a=1;b=4; c=4\). Mając te dane, obliczamy deltę.

\(\Delta=4^2-4\cdot 1\cdot 4=16-16=0\)

Delta jest równa zero, oznacza to, że istnieje jedno rozwiązanie równania, obliczmy je więc:

\(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\)

\(x_1=x_2=-\frac{4}{2\cdot 1}=-frac{4}{2}=-2\)

Odpowiedź:
Szukana delta wynosi \(\Delta=0\), rozwiązaniem równania jest \(x=-2\).

c)
\(2x^2-12x-6\frac{1}{2}=0\)

Z podanego równania łatwo zauważyć, że \(a=2;b=-12; c=-6\). Mając te dane, obliczamy deltę.

\(\Delta=(-12)^2-4\cdot 2\cdot (-6\frac{1}{2})=144+52=196\)

Delta jest liczbą dodatnią, oznacza to, że istnieją dwa rozwiązania równania \(x_1\) oraz \(x_2\), obliczamy je więc:

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{196}=14\)

\(x_1=\frac{-(-12)-14}{2\cdot 2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-(-12)+14}{2\cdot 2}\)

\(x_1=\frac{-2}{4} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{26}{4}\)

\(x_1=-\frac{1}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=6\frac{1}{2}\)

Odpowiedź:
Szukana delta wynosi \(\Delta=196\), równanie posiada dwa rozwiązania \(x_1=-\frac{1}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=6\frac{1}{2}\)

d)
\(-x^2+x-8=0\)

Z podanego równania łatwo zauważyć, że \(a=-1;b=1; c=-8\). Mając te dane, obliczamy deltę.

\(\Delta=1^2-4\cdot (-1)\cdot (-8)=1-32=-31\)

Delta jest liczbą ujemną, oznacza to, że równanie nie ma rozwiązań, nie istnieje \(x_1\) oraz \(x_2\).

Odpowiedź:
Szukana delta wynosi \(\Delta=-31\), natomiast \(x_1\) i \(x_2\) nie można obliczyć (nie istnieją).

e)
\(x^2+8x-20=0\)

Z podanego równania łatwo zauważyć, że \(a=1;b=8; c=-15\). Mając te dane, obliczamy deltę.

\(\Delta=8^2-4\cdot 1\cdot (-20)=64+80=144\)

Delta jest liczbą dodatnią, oznacza to, że istnieją dwa rozwiązania równania \(x_1\) oraz \(x_2\), obliczamy je więc:

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{144}=12\)

\(x_1=\frac{-8-12}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-8+12}{2\cdot 1}\)

\(x_1=\frac{-20}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{4}{2}\)

\(x_1=-10 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=2\)

Odpowiedź:
Szukana delta wynosi \(\Delta=144\), rozwiązaniem równania są \(x_1=-10\) oraz \(x_2=2\).