Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Równania logarytmiczne – Zadanie 2 powrót do artykułu głównego 

Rozwiąż równania z logarytmami:

a) \(2+\log_{5} (3x-5)=\log_{5} (2x+23)\)

b) \(\log_{50} (5x-10)+\log_{50} (3x+1)=1\)

c) \(\log_{\sqrt{2}} (2x+3)+\log_{\sqrt{2}} (x+2)=0\)

Równania w których mamy więcej niż jedne logarytm z \(x\) należy rozwiązywać, zaczynając od wyznaczenia dziedziny.

Rozwiązanie
a)
\(2+\log_{5} (3x-5)=\log_{5} (2x+23)\)

Wyznaczamy dziedzinę \(x\):

\(3x-5>0\)      i      \(2x-21>0\)

\(3x>5\)      i      \(2x>21\)

\(x>\frac{5}{3}\)      i      \(x>\frac{21}{2}\)

\(x>1\frac{2}{3}\)      i      \(x>10\frac{1}{2}\)

więc, dziedziną naszego równania będzie:

\(x>10\frac{1}{2}\)

lub inaczej,

\(D=(10\frac{1}{2};+\infty)\)

Przystępujemy do rozwiązania równania.

\(2+\log_{5} (3x-5)=\log_{5} (2x-21)\)

\(\log_{5} 5^2+\log_{5} (3x-5)=\log_{5} (2x-21)\)

\(\log_{5}(25\cdot (3x-5))=\log_{5} (2x-21)\)

\(25\cdot (3x-5)=2x-21\)

\(75x-125=2x-21\)

\(73x=-146\)

\(x=-2\)

Jednak \(x=-2\) nie należy do dziedziny. Oznacza to, że równanie nie posiada rozwiązania.

Odpowiedź:
Równanie nie posiada rozwiązania.


b)
\(\log_{50} (5x-10)+\log_{50} (3x+1)=1\)

Wyznaczamy dziedzinę funkcji.

\(5x-10>0\)      i      \(3x+1>0\)

\(5x>10\)      i      \(3x>-1\)

\(x>2\)      i      \(x>-\frac{1}{3}\)

Dziedziną równania będzie

\(x\: \epsilon \: (2;+\infty)\)

Zaczynamy rozwiązywać równanie.

\(\log_{50} (5x-10)+\log_{50} (3x+1)=1 \)

\(\log_{50}(5x-10)\cdot (3x+1)=\log_{50} 50 \)

\((5x-10)\cdot (3x+1)= 50\)

\(15x^2-25x-10-50=0\)

\(15x^2-25x-60=0 \: / :5\)

\(3x^2-5x-12=0\)

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

\(\Delta =25-4\cdot 3\cdot (-12)=25+144=169\)

\(\sqrt{\Delta} = 13\)

\(x_1=\dfrac{5-13}{2\cdot 3}\)      \(x_2=\dfrac{5+13}{2\cdot 3}\)

\(x_1=\dfrac{-8}{6}\)      \(x_2=\dfrac{18}{6}\)

\(x_1=-1\dfrac{1}{3}\)      \(x_2=3\)

\(x_1\) odrzucamy ponieważ nie należy do dziedziny. Rozwiązaniem jest \(x=3\).

Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest \(x=3\).

c)
\(\log_{\sqrt{2}} (2x+3)+\log_{\sqrt{2}} (x+2)=0\)

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.

\(2x+3>0\)      i      \(x+2>0\)

\(x>-\frac{3}{2}\)      i      \(x>-2\)

\(x>-1\frac{1}{2}\)      i      \(x>-2\)

Dziedziną jest :

\(x\: \epsilon \: (-1\frac{1}{2};+\infty)\)

Przystępujemy do rozwiązania równania z logarytmem.

\(\log_{\sqrt{2}} (2x+3)\cdot (x+2)=\log_{\sqrt{2}} 1\)

\((2x+3)\cdot (x+2)= 1\)

\(2x^2+5x+6-1=0\)

\(2x^2+5x+5=0\)

W tym momencie równanie z logarytmem uprościliśmy do postaci równania kwadratowego. Przystępujemy do rozwiązania:

\(\Delta =5^2-4\cdot 2\cdot 5=25-40=-15\)

Równanie nie posiada miejsc zerowych.

Odpowiedź:
Równanie nie posiada rozwiązania.


Zadanie 1 

Zadanie 3