Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Równania z wartością bezwzględną – Zadanie 1 powrót do artykułu głównego 

Rozwiąż równanie:

a) \(|x|=5\)     b) \(|x|=7\)     c) \(|x-5|=2\)

d) \(|x+9|=3\)     e) \(|x+2|=-1\)     f) \(\sqrt{(x+5)^2}=4\)

do rozwiązywania każdego z równań skorzystamy z twierdzenia:

\(|ax+b|=c \Leftrightarrow (ax+b=c \vee ax+b=-c)\)

poza tym, rozwiązujemy zwykłe równania.

Rozwiązanie

a)
\(|x|=5\)

\(x=5 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -x=5\)

\(x=5 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: x=-5\)

Odpowiedź: Szukanym rozwiązaniem jest \(x \epsilon \{-5;5\} \).

b)
\(|x|=7\)

\(x=7 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -x=7\)

\(x=7 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: x=-7\)

Odpowiedź: Szukanym rozwiązaniem jest \(x \epsilon \{-7;7\} \).

c)
\(|x-5|=2\)

\( x-5=2 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -( x-5)=2\)

\(x=2+5 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -x+5=2\)

\(x=7 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -x=2-5\)

\(x=7 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: -x=-3\)

\( x=7 \:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\: x=3\)

Odpowiedź: Szukanym rozwiązaniem jest \(x =7\) lub \(x=3\).

d)
\(|x+9|=3\)

\(x+9=3 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -(x+9)=3\)

\(x=3-9 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x-9=3\)

\(x=-6 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x=3+9\)

\(x=-6 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x=12\)

\(x=-6 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: x=-12\)

Odpowiedź: Szukanym rozwiązaniem jest \(x =-12\) lub \(x=-6\).

e)
\(|x+2|=-1\)

W podanym przykładzie wartość bezwzględna ma być równa \(-1\), to nigdy nie będzie prawdą. Oznacza to, że równanie nie ma rozwiązania.

Odpowiedź: Podane równanie nie ma rozwiązania.

f)
\(\sqrt{(x+5)^2}=4\)

Aby rozwiązać równanie trzeba pamiętać o zasadzie:

\(\sqrt{x^2}=|x|\)

więc:

\(|x+5|=4\)

\(x+5=4 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -(x+5)=4\)

\(x=4-5 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x-5=4\)

\(x=-1 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x=4+5\)

\(x=-1 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: -x=9\)

\(x=-1 \:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\: x=-9\)

Odpowiedź: Szukanym rozwiązaniem jest \(x =-1\) lub \(x=-9\). 


Zadanie 2 

Zadanie 3