Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Równania z wartością bezwzględną – Zadanie 3 powrót do artykułu głównego 

Rozwiąż równania:

a) \(|x-3|+|x+3|=10\)     b) \(|x-1|-|x+2|=-3\)     c) \(|6-2x|+|5x-10|=12\)

Aby rozwiązać zadanie w każdym z przykładów najpierw należy sprawdzić, dla jakich wartości \(x\) wartość bezwzględna jest ujemna, a dla jakich większa lub równa zero. Na tej podstawie wyznaczamy zazwyczaj trzy przedziały i rozwiązać równanie w każdym z tych przedziałów.

Rozwiązanie

a)
\(|x-3|+|x+3|=10\)

Sprawdzamy, dla jakich wartości \(x-3\) oraz \(x+3\) przyjmują wartości ujemne, a dla jakich większe lub równe zero:

\(x-3 \geqslant 0 \)     oraz     \( x+3 \geqslant 0\)

\(x \geqslant 3 \)     oraz     \(x \geqslant -3\)

dla ułatwienia można nanieść to na oś liczbową:

Wartość bezwzględna zadania

Rozwiązujemy równanie w podziale na trzy przedziały: \((-\infty;-3) \: ; \:\left \langle -3;3 \right )\: ; \:\left \langle 3;+\infty \right )\).

1) dla \(x \epsilon (-\infty;-3)\)

W tym przedziale, jakakolwiek liczba wstawiona pod wartość bezwzględną daje liczbę ujemną, wiec przy opuszczaniu wartości bezwzględnych zmieniamy znak. Następnie rozwiązujemy i sprawdzamy czy wynik należy do przedziału.

\(|x-3|+|x+3|=10\)

\(-(x-3)-(x+3)=10\)

\(-x+3-x-3=10\)

\(-2x=10\)

\(x=-5\)

Liczba \(-5\) należy do przedziału \((-\infty;-3)\). Oznacza to, że \(x=-5\) jest rozwiązaniem równania.


2) dla \(x \epsilon\left \langle -3;3 \right )\)

przy opuszczaniu wartości bezwzględnej z \(|x-3|\) zmieniamy znak, natomiast wartość \(x+3\) zostawiamy bez zmian, więc:

\(|x-3|+|x+3|=10\)

\(-(x-3)+x+3=10\)

\(-x+3+x+3=10\)

\(6=10\)

Otrzymaliśmy zdanie sprzeczne, oznacza to, że żadna liczba z tego przedziału nie jest rozwiązaniem równania.


3) dla \( x \epsilon\left \langle 3;+\infty \right )\)

Przy opuszczaniu wartości bezwzględnych nie zmieniamy znaków, wiec:

\(|x-3|+|x+3|=10\)

\(x-3+x+3=10\)

\(2x=10\)

\(x=5\)

Liczba 5 należy do przedziału \(\left \langle 3;+\infty \right )\), oznacza to, że \(x=5\) jest rozwiązaniem równania.

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest \(x=-5\) lub \(x=5\).

b)
\(|x-1|-|x+2|=-3\)

Sprawdzamy, dla jakich wartości \(x-1\) oraz \(x+2\) przyjmują wartości ujemne, a dla jakich większe lub równe zero:

\(x-1 \geqslant 0 \:\:\:\:\:\: x+2 \geqslant 0\)

\(x \geqslant 1 \:\:\:\:\:\: x \geqslant -2\)

Nanosimy na oś liczbową dla łatwiejszego odczytania przedziałów:

Wartość bezwzględna równanie

Rozwiązujemy równanie w podziale na trzy przedziały: \((-\infty;-2) \: ; \:\left \langle -2;1 \right )\: ; \:\left \langle 1;+\infty \right )\).


1) dla \(x \: \epsilon (-\infty;-2)\)

W tym przedziale, jakakolwiek liczba wstawiona pod wartość bezwzględną daje liczbę ujemną, wiec przy opuszczaniu wartości bezwzględnych zmieniamy znak. Następnie rozwiązujemy i sprawdzamy czy wynik należy do przedziału.

\(|x-1|-|x+2|=-3\)

\(-(x-1)+(x+2)=-3\)

\(-x+1+x+2=-3\)

\(3=-3\)

Otrzymaliśmy zdanie sprzeczne, oznacza to, że żadna liczba z tego przedziału nie jest rozwiązaniem równania.


2) dla \(x \: \epsilon \:\left \langle -2;1 \right )\)

Opuszczając wartość bezwzględną z \(|x-1|\) zmieniamy znak, ponieważ wszystkie \(x\) z tego przedziału po podstawieniu do wyrażenia dają wartość ujemną. Natomiast opuszczenie wartości bezwzględnej z wyrażenia \(|x+2|\) w tym przedziale nie powoduje zmiany znaku, bo wartości wyrażenia po wstawieniu \(x\) z tego przedziału daje wartość dodatnią.

\(|x-1|-|x+2|=-3\)

\(-(x-1)-(x+2)=-3\)

\(-x+1-x-2=-3\)

\(-2x=-3-1+2\)

\(-2x=-2\)

\(x=1\)

Liczba \(1\) nie należy do przedziału \(\left \langle 3;+\infty \right )\), oznacza to, że 1 nie jest rozwiązaniem równania.


3) dla \(x\: \epsilon \:\left \langle 1;+\infty \right )\)

Przy opuszczaniu wartości bezwzględnych nie zmieniamy znaków, ponieważ wartości obu wartości bezwzględnych po podstawieniu za \(x\) liczb z przedziału są dodatnie, wiec:

\(|x-1|-|x+2|=-3\)

\((x-1)-(x+2)=-3\)

\(x-1-x-2=-3\)

\(-3=-3\)

Otrzymaliśmy wyrażenie zawsze prawdziwe, oznacza to, że wszystkie wartości \(x\) z przedziału \(\left \langle 1;+\infty \right )\), są rozwiązaniem równania.

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest \(x\: \epsilon \:\left \langle 1;+\infty \right )\).

c)
\(|6-2x|+|5x-10|=12\)

Sprawdzamy, dla jakich wartości \(6-2x\) oraz \(5x-10\) przyjmują wartości ujemne, a dla jakich większe lub równe zero:

\(6-2x \geqslant 0 \:\:\:\:\:\: 5x-10 \geqslant 0\)

\(6-2x \geqslant 0 \:\:\:\:\:\: 5x-10 \geqslant 0\)

\(-2x \geqslant -6 \:\:\:\:\:\: 5x \geqslant 10\)

\(x \leqslant  3 \:\:\:\:\:\: x \geqslant 2\)

Następnie dzielimy na trzy przedziały wynikające z równań:

Wartość bezwzględna przykład

Rozwiązujemy równanie w podziale na trzy przedziały: \((-\infty;2) \: ; \:\left \langle 2;3 \right \rangle\: ; \: ( 3;+\infty )\).


1) dla \(x \: \epsilon (-\infty;2)\)

Opuszczając wartość bezwzględną z \(|5x-10|\) zmieniamy znak, ponieważ wszystkie \(x\) z tego przedziału po podstawieniu do wyrażenia dają wartość ujemną. Natomiast opuszczenie wartości bezwzględnej z wyrażenia \(|6-2x|\) w tym przedziale nie powoduje zmiany znaku, bo wartości wyrażenia po wstawieniu \(x\) z tego przedziału daje wartość dodatnią. Następnie rozwiązujemy i sprawdzamy czy wynik należy do przedziału.

\(|6-2x|+|5x-10|=12\)

\((6-2x)-(5x-10)=12\)

\(6-2x-5x+10=12\)

\(-7x=12-6-10\)

\(-7x=-4\)

\(x=\dfrac{4}{7}\)

Liczba \(\dfrac{4}{7}\) należy do przedziału \((-\infty;2)\), oznacza to, że \(x=\dfrac{4}{7}\) jest rozwiązaniem równania.


2) dla \(x \: \epsilon \left \langle 2;3 \right \rangle\)

Przy opuszczaniu wartości bezwzględnych nie zmieniamy znaków, ponieważ wartości obu wartości bezwzględnych dla liczb z tego przedziału są dodatnie, wiec:

\(|6-2x|+|5x-10|=12\)

\((6-2x)+(5x-10)=12\)

\(6-2x+5x-10=12\)

\(3x=12-6+10\)

\(3x=16\)

\(x=5\dfrac{1}{3}\)

Liczba \(5\dfrac{1}{3}\) nie należy do przedziału \(\left \langle 2;3 \right \rangle\), oznacza to, że \(x=5\dfrac{1}{3}\) nie jest rozwiązaniem równania.


3) dla \( x \: \epsilon \left ( 3;+\infty \right )\)

Opuszczając wartość bezwzględną z \(|6-2x |\) zmieniamy znak, ponieważ wszystkie \(x\) z tego przedziału po podstawieniu do wyrażenia dają wartość ujemną. Natomiast opuszczenie wartości bezwzględnej z wyrażenia \(|5x-10|\) w tym przedziale nie powoduje zmiany znaku, bo wartości wyrażenia po wstawieniu \(x\) z tego przedziału daje wartość dodatnią.

\(|6-2x|+|5x-10|=12\)

\(-(6-2x)+(5x-10)=12\)

\(-6+2x+5x-10=12\)

\(7x=12+6+10\)

\(7x=28\)

\(x=4\)

Liczba \(4\) należy do przedziału \(\left ( 3;+\infty \right )\), oznacza to ,że \(x=4\) jest rozwiązaniem równania.

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania \(|6-2x|+|5x-10|=12\) jest \(x=\dfrac{4}{7}\) oraz \(x=4\). 



Zadanie 1 

Zadanie 2