Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Rozwiązywanie równań kwadratowych – Zadanie 1powrót do artykułu głównego

Rozwiąż równanie kwadratowe
a) \(x^2-3x-4=0\)

b) \(x^2-4=0\)

c) \(x^2-7x=0\)

d) \(5x^2+6x+1=0\)

Aby rozwiązać równanie kwadratowe, najpierw obliczamy deltę \(\Delta\), następnie \(x_1\) oraz \(x_2\), jeśli istnieją. W tym celu wykorzystujemy wzory:
\(\Delta=b^2-4ac\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

Rozwiązanie
a)
\(x^2-3x-4=0\)

Z równania mamy \(a=1;b=-3;c=-4\), obliczamy deltę:

\(\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=9+16=25\)

Delta jest dodatnia, więc mamy dwa rozwiązania \(x_1\) oraz \(x_2\), obliczamy je:

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{25}=5\)
\(x_1=\frac{-(-3)-5}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-(-3)+5}{2\cdot 1}\)

\(x_1=\frac{3-5}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{3+5}{2}\)

\(x_1=\frac{-2}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{8}{2}\)

\(x_1=-1 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=4\)

Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest \(x=-1\) oraz \(x=4\).

b)
\(x^2-4=0\)

Z równania mamy \(a=1;b=0;c=-4\), obliczamy deltę:

\(\Delta=0^2-4\cdot 1\cdot (-4)=16\)

Delta jest dodatnia, więc mamy dwa rozwiązania \(x_1\) oraz \(x_2\), obliczamy je:

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4\)

\(x_1=\frac{-0-4}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-0+4}{2\cdot 1}\)

\(x_1=\frac{-4}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{4}{2}\)

\(x_1=-2 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=2\)

Odpowiedź:
Równanie posiada dwa rozwiązania \(x=-2\) oraz \(x=2\).

c)
\(x^2-7x=0\)

Z równania mamy \(a=1;b=-7;c=0\), obliczamy deltę:

\(\Delta=(-7)^2-4\cdot 1\cdot 0=49\)

Delta jest dodatnia, więc mamy dwa rozwiązania \(x_1\) oraz \(x_2\):

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{49}=7\)
\(x_1=\frac{-(-7)-7}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-(-7)+7}{2\cdot 1}\)

\(x_1=\frac{7-7}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{7+7}{2}\)

\(x_1=\frac{0}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{14}{2}\)

\(x_1=0 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2= 7\)

Odpowiedź:
Równanie posiada dwa rozwiązania \(x=0\) oraz \(x=7\).

d)
\(5x^2+6x+1=0\)

Z równania mamy \(a=5;b=6;c=1\), obliczamy deltę:

\(\Delta=6^2-4\cdot 5\cdot 1=36-20=16\)

Delta jest dodatnia, więc mamy dwa rozwiązania \(x_1\) oraz \(x_2\):

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4\)

\(x_1=\frac{-6-4}{2\cdot 5} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-6+4}{2\cdot 5}\)

\(x_1=\frac{-10}{10} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-2}{10}\)

\(x_1=-1 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=-\frac{1}{5}\)

Odpowiedź: Równanie posiada dwa rozwiązania \(x=-1\) oraz \(x=-\frac{1}{5}\).