Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Rozwiązywanie równań kwadratowych – Zadanie 2powrót do artykułu głównego

Rozwiąż równanie kwadratowe
a) \(6x^2+11x-35=0\)

b) \(3x^2+6x-18\frac{1}{3}=0\)

c) \(3x^2-10x+5=0\)

d) \(x^2+4x+5=0\)

Aby rozwiązać równanie kwadratowe, najpierw obliczamy deltę \(\Delta\), następnie \(x_1\) oraz \(x_2\), jeśli istnieją.
\(\Delta=b^2-4ac\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

Rozwiązanie
a)
\(6x^2+11x-35=0\)

Z równania odczytujemy \(a=6;b=11;c=-35\) i obliczamy deltę:

\(\Delta=11^2-4\cdot 6\cdot (-35)=121+840=961\)

Wartość delta jest dodatnia, oznacza to, że równanie posiada dwa rozwiązania.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{961}=31\)

\(x_1=\frac{-11-31}{2\cdot 6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-11+31}{2\cdot 6}\)

\(x_1=\frac{-42}{12} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{20}{12}\)

\(x_1=-3\frac{6}{12} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{8}{12}\)

\(x_1=-3\frac{1}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{2}{3}\)

Odpowiedź:
Równanie posiada dwa rozwiązania \(x=-3\frac{1}{2}\) oraz \(x=1\frac{2}{3}\).

b)
\(3x^2+6x-18\frac{1}{3}=0\)

Z równania odczytujemy \(a=3;b=6;c=-18\frac{1}{3}\) i obliczamy deltę:

\(\Delta=6^2-4\cdot 3\cdot (-18\frac{1}{3})=36+220=256\)

Wartość delta jest dodatnia, oznacza to, że równanie posiada dwa rozwiązania.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{256}=16\)

\(x_1=\frac{-22}{6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{10}{6}\)

\(x_1=-3\frac{4}{6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{4}{6}\)

\(x_1=-3\frac{2}{3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{2}{3}\)

Odpowiedź:
Równanie posiada dwa rozwiązania \(x=-3\frac{2}{3}\) oraz \(x=1\frac{2}{3}\).

c)

\(3x^2-10x+5=0\)

Z równania odczytujemy \(a=3;b=-10;c=5\) i obliczamy deltę:

\(\Delta=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 5=100-60=40\)

Wartość delta jest dodatnia, oznacza to, że równanie posiada dwa rozwiązania.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}\)

\(x_1=\frac{-(-10)-2\sqrt{10}}{2\cdot 3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-(-10)+2\sqrt{10}}{2\cdot 3}\)

\(x_1=\frac{10-2\sqrt{10}}{6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{10+2\sqrt{10}}{6}\)

\(x_1=\frac{10}{6}-\frac{2\sqrt{10}}{6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{10}{6}+\frac{2\sqrt{10}}{6}\)

\(x_1=1\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{10}}{3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{10}}{3}\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania są : \(x_1=1\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{10}}{3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=1\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{10}}{3}\)

d)
\(x^2+4x+5=0\)

Z równania odczytujemy \(a=1;b=4;c=5\) i obliczamy deltę:

\(\Delta=4^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4\)

Wartość delta jest ujemna, oznacza to, że równanie nie posiada rozwiązania.

Odpowiedź:
Podane równanie nie posiada rozwiązania.