Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Rozwiązywanie równań kwadratowych – Zadanie 3powrót do artykułu głównego

Rozwiąż równanie kwadratowe
a) \(x(x+2)=x^2-(x-1)^2\)

b) \((x-4)(x+4)+x^2=(x+3)^2\)

c) \((x-1)(2-x)=(3-2x)(x-2)+9\)

d) \((x-1)^2-(x+2)^2+(x-3)^2=6\)

Aby rozwiązać równanie, najpierw wymnożymy wszystkie możliwe wyrażenia, dodamy i odejmiemy, a następnie obliczymy deltę \(\Delta\) i rozwiązania \(x_1\) oraz \(x_2\).

Rozwiązanie
a)
\(x(x+2)=x^2-(x-1)^2\)

Wymnażamy wszystko, przenosimy na lewą stronę i upraszczamy.

\(x(x+2)=x^2-(x-1)^2\)

\(x^2+2x=x^2-(x^2-2x+1)\)

\(x^2+2x=x^2-x^2+2x-1\)

\(x^2+2x-x^2+x^2-2x+1=0\)

\(x^2+1=0\)

Z równania odczytujemy \(a=1;b=0;c=1\) i obliczamy deltę:

\(\Delta=0^2-4\cdot 1\cdot 1=0-4=-4\)

Delta jest ujemna, więc równanie nie posiada rozwiązania.

Odpowiedź:
Równanie nie posiada rozwiązania.

b)
\((x-4)(x+4)+x^2=(x+3)^2\)

\(x^2-16+x^2=x^2+6x+9\)

\(x^2-16+x^2-x^2-6x-9=0\)

\(x^2-6x-25=0\)

Z równania odczytujemy \(a=1;b=-6;c=-25\) i obliczamy deltę:

\(\Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot (-25)=36+100=136\)

Delta jest większa od zera, więc równanie posiada dwa rozwiązania.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{136}=\sqrt{4\cdot 34}=2\sqrt{34}\)

\(x_1=\frac{-(-6)-2\sqrt{34}}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-(-6)+2\sqrt{34}}{2\cdot 1}\)

\(x_1=\frac{6-2\sqrt{34}}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{6+2\sqrt{34}}{2}\)

\(x_1=3-\sqrt{34} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=3+\sqrt{34}\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest \(x_1=3-\sqrt{34} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=3+\sqrt{34}\).

c)
\((x-1)(2-x)=(3-2x)(x-2)+9\)

\(-x^2+x+2x-2=-2x^2+3x+4x-6+9\)

\(-x^2+x+2x-2+2x^2-3x-4x+6-9=0\)

\(x^2-4x-5=0\)

Z równania odczytujemy \(a=1;b=-4;c=-5\) i obliczamy deltę:

\(\Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-5)=16+20=36\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{36}=6\)

Delta jest większa od zera, więc równanie posiada dwa rozwiązania.

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{36}=6\)

\(x_1=\frac{-(-4)-6}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-(-4)+6}{2\cdot 1}\)

\(x_1=\frac{4-6}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{4+6}{2}\)

\(x_1=\frac{-2}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{10}{2}\)

\(x_1=-1 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=5\)

Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest \(x_1=-1 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=5\)

d)
\((x-1)^2-(x+2)^2+(x-3)^2=6\)

\(x^2-2x+1-(x^2+4x+4)+x^2-6x+9=6\)

\(x^2-2x+1-x^2-4x-4+x^2-6x+9-6=0\)

\(x^2-12x=0\)

Z równania odczytujemy \(a=1;b=-4;c=-5\) i obliczamy deltę:

\(\Delta=(-12)^2-4\cdot 1\cdot 0=144\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{144}=12\)

\(x_1=\frac{-(-12)-12}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{-(-12)+12}{2\cdot 1}\)

\(x_1=\frac{12-12}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{12+12}{2}\)

\(x_1=\frac{0}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=\frac{24}{2}\)

\(x_1=0 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x_2=12\)

Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest x=0 oraz x=12.