Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Rozwiniecie Laplace'a – Zadanie 1

Oblicz wyznacznik macierzy, wykorzystując rozwinięcie Laplace’a.
\(A=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 & 3\\
1 & 0 & -4 & 5\\
5 & 2 & 0 & 2\\
1 & -5 & -2 & 1
\end{bmatrix}\)

Aby w jak najprostszy sposób obliczyć wyznacznik wykorzystując rozwinięcie Laplace’a, należy wybrać wiersz lub kolumnę z największą ilością zer, jeśli nie znajdujemy takiej, to sami ją tworzymy. W zadaniu, w trzeciej kolumnie mamy dwa zera. Idealną sytuacją byłaby taka, w której mielibyśmy trzy zera i do takiej sytuacji doprowadzimy. Od drugiego wiersza odejmiemy wiersz czwarty pomnożony przez dwa:

\(\begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 & 3\\
-1 & 10 & 0 & 3\\
5 & 2 & 0 & 2\\
1 & -5 & -2 & 1
\end{vmatrix}\)

Tak przekształcony wyznacznik możemy uprościć wykorzystując rozwinięcie Laplace'a, więc:

\(\begin{vmatrix}
1 & -2 & {\color{DarkRed} 0} & 3\\
-1 & 10 & {\color{DarkRed}0} & 3\\
5 & 2 & {\color{DarkRed}0} & 2\\
1 & -5 & {\color{DarkGreen}{-2}} & 1
\end{vmatrix}=\)

\(=(-1)^{1+3}\cdot {\color{DarkRed}0}\cdot \begin{vmatrix}
-1 & 10 & 3\\
5 & 2 & 2\\
1 & -5 & 1
\end{vmatrix}
+
(-1)^{2+3}\cdot {\color{DarkRed}0} \cdot \begin{vmatrix}
1 & -2 & 3\\
5 & 2 & 2\\
1 & -5 & 1
\end{vmatrix}
+
(-1)^{3+3}\cdot {\color{DarkRed}0}\cdot \begin{vmatrix}
1 & -2 & 3\\
-1 & 10 & 3\\
1 & -5 & 1
\end{vmatrix}
+
(-1)^{4+3}\cdot ({\color{DarkGreen}{-2}})\cdot \begin{vmatrix}
1 & -2 & 3\\
-1 & 10 & 3\\
5 & 2 & 2
\end{vmatrix}\)


Teraz widać, że wyrazy z zerem powodują zerowanie się wyrazów i w ostateczności zostaje nam:

\(\begin{vmatrix}
1 & -2 & {\color{DarkRed} 0} & 3\\
-1 & 10 & {\color{DarkRed}0} & 3\\
5 & 2 & {\color{DarkRed}0} & 2\\
1 & -5 & {\color{DarkGreen}{-2}} & 1
\end{vmatrix}=

(-1)^{4+3}\cdot ({\color{DarkGreen}{-2}})\cdot \begin{vmatrix}
1 & -2 & 3\\
-1 & 10 & 3\\
5 & 2 & 2
\end{vmatrix}\)

Współczynniki przed wyznacznikiem obliczamy, a sam wyznacznik ponownie przygotowujemy do rozwinięcia Laplace’a, tworząc jak najwięcej zer w dowolnej kolumnie lub wierszu. Chyba najłatwiej będzie zerować pierwszy wiersz: do drugiej kolumny dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez 2, od trzeciej kolumny odejmujemy pierwszy wiersz pomnożony przez 3, więc:

\((-1)^{4+3}\cdot ({\color{DarkGreen}{-2}})\cdot \begin{vmatrix}
1 & -2 & 3\\
-1 & 10 & 3\\
5 & 2 & 2
\end{vmatrix}=2\cdot \begin{vmatrix}
1 & -2 & 3\\
-1 & 10 & 3\\
5 & 2 & 2
\end{vmatrix}
=
2\cdot \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1 & 8 & 6\\
5 & 12 & -13
\end{vmatrix}\)

Tak przekształcony wyznacznik przekształcamy rozwinięciem Laplace’a:

\(2\cdot \begin{vmatrix}
{\color{DarkGreen}1} & {\color{DarkRed}0} & {\color{DarkRed}0}\\
-1 & 8 & 6\\
5 & 12 & -13
\end{vmatrix}=
2\cdot \left (
(-1)^{1+1}\cdot {\color{DarkGreen}1} \cdot \begin{vmatrix}
8 & 6\\
12 & -13
\end{vmatrix}
+
(-1)^{1+2}\cdot {\color{DarkRed}0} \cdot \begin{vmatrix}
-1 & 6\\
5 & -13
\end{vmatrix}
+
(-1)^{1+3}\cdot {\color{DarkRed}0} \cdot \begin{vmatrix}
-1 & 8\\
5 & 12
\end{vmatrix}
\right )\)


Wyrazy z zerem się redukują, ponieważ mnożenie przez zero daje zero, więc ostatecznie otrzymujemy:

\(2\cdot \begin{vmatrix}
{\color{DarkGreen}1} & {\color{DarkRed}0} & {\color{DarkRed}0}\\
-1 & 8 & 6\\
5 & 12 & -13
\end{vmatrix}=
2\cdot (-1)^{1+1}\cdot {\color{DarkGreen}1} \cdot \begin{vmatrix}
8 & 6\\
12 & -13
\end{vmatrix}
=2\cdot \begin{vmatrix}
8 & 6\\
12 & -13
\end{vmatrix}\)

Tak uproszczony wyznacznik obliczamy:

\(2\cdot \begin{vmatrix}
8 & 6\\
12 & -13
\end{vmatrix}=
2\cdot (8\cdot (-13) -6\cdot 12)=2\cdot (-104-72)=\)

\(=2\cdot (-176)=-352\)

Odpowiedź: Rozwiązaniem zadania jest \(det(A)=-352\).