Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Rozwiniecie Laplace'a – Zadanie 2

Oblicz wyznacznik macierzy, wykorzystując rozwinięcie Laplace’a.
\(B=\begin{bmatrix}
0 & 5 & 5 & -2\\
-1& 1 & -4 & -3\\
0 & -2 & 1 & 4\\
3 & 0 & -5 & 0
\end{bmatrix}\)

Rozwiązanie
Aby w jak najprostszy sposób obliczyć wyznacznik wykorzystując rozwinięcie Laplace’a, należy wybrać wiersz lub kolumnę z największą ilością zer, jeśli nie znajdujemy takiej, to sami ją tworzymy. W zadaniu, w pierwszej kolumnie mamy dwa zera. Idealną sytuacją byłaby taka, w której mielibyśmy trzy zera i do takiej sytuacji doprowadzimy. Do czwartego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez trzy:

\( det(B)=\begin{vmatrix}
0 & 5 & 5 & -2\\
-1 & 1 & -4 & -3\\
0 & -2 & 1 & 4\\
3 & 0 & -5 & 0
\end{vmatrix}

=\begin{vmatrix}
0 & 5 & 5 & -2\\
-1 & 1 & -4 & -3\\
0 & -2 & 1 & 4\\
0 & 3 & -17 & -9
\end{vmatrix}\)

Tak przygotowany wyznacznik możemy uprościć z twierdzenia Laplace’a:

\(\begin{vmatrix}
{\color{DarkRed}0} & 5 & 5 & -2\\
{\color{DarkGreen}{-1}} & 1 & -4 & -3\\
{\color{DarkRed}0} & -2 & 1 & 4\\
{\color{DarkRed}0} & 3 & -17 & -9
\end{vmatrix}=\)

\(=(-1)^{1+1}\cdot {\color{DarkRed}0}\cdot \begin{vmatrix}
1 & -4 & -3\\
-2 & 1 & 4\\
3 & -17 & -9
\end{vmatrix}
+
(-1)^{2+1}\cdot {\color{DarkGreen}{(-1)}}\cdot \begin{vmatrix}
5 & 5 & -2\\
-2 & 1 & 4\\
3 & -17 & -9
\end{vmatrix}
+
(-1)^{3+1}\cdot {\color{DarkRed}0} \cdot \begin{vmatrix}
5 & 5 & -2\\
1 & -4 & -4\\
3 & -17 & -9
\end{vmatrix}
+
(-1)^{4+1}\cdot {\color{DarkRed}0}\cdot \begin{vmatrix}
5 & 5 & -2\\
1 & -4 & -3\\
-2 & 1 & 4
\end{vmatrix}\)


Wyrazy z zerem się upraszczają (mnożenie razy zero daje zero), otrzymujemy więc:

\(\begin{vmatrix}
{\color{DarkRed}0} & 5 & 5 & -2\\
{\color{DarkGreen}{-1}} & 1 & -4 & -3\\
{\color{DarkRed}0} & -2 & 1 & 4\\
{\color{DarkRed}0} & 3 & -17 & -9
\end{vmatrix}
=
(-1)^{2+1}\cdot {\color{DarkGreen}{(-1)}}\cdot \begin{vmatrix}
5 & 5 & -2\\
-2 & 1 & 4\\
3 & -17 & -9
\end{vmatrix}\)

Współczynniki przed wyznacznikiem upraszczamy, natomiast sam wyznacznik przygotowujemy ponownie do rozwinięcia Laplace’a. Można tu zastosować już wzór Sarrusa, jednak przećwiczmy Laplace’a. Wytworzymy jak najwięcej zer w drugim wierszu, dodając do pierwszej kolumny drugą kolumnę pomnożoną przez dwa, a następnie odejmując od trzeciej kolumny druga kolumnę pomnożoną przez cztery:

\((-1)^{2+1}\cdot {\color{DarkGreen}{(-1)}}\cdot \begin{vmatrix}
5 & 5 & -2\\
-2 & 1 & 4\\
3 & -17 & -9
\end{vmatrix}
=
1\cdot \begin{vmatrix}
5 & 5 & -2\\
-2 & 1 & 4\\
3 & -17 & -9
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
15 & 5 & -22\\
0 & 1 & 0\\
-31 & -17 & 59
\end{vmatrix}\)

Tak uproszczony wyznacznik traktujemy rozwinięciem Laplace’a:

\(\begin{vmatrix}
15 & 5 & -22\\
{\color{DarkRed}0} & {\color{DarkGreen}1} & {\color{DarkRed}0}\\
-31 & -17 & 59
\end{vmatrix}=\)

\(=(-1)^{2+1}\cdot {\color{DarkRed}0} \cdot \begin{vmatrix}
5 & -22\\
-17 & 59
\end{vmatrix}
+
(-1)^{2+2}\cdot {\color{DarkGreen}1} \cdot \begin{vmatrix}
15 & -22\\
-31 & 59
\end{vmatrix}
+
(-1)^{2+3}\cdot {\color{DarkRed}0} \cdot \begin{vmatrix}
15 & 5\\
-31 & -17
\end{vmatrix}\)


Podobnie jak poprzednio, wyrazy z zerem się upraszczają, pozostaje więc tylko:

\(\begin{vmatrix}
15 & 5 & -22\\
{\color{DarkRed}0} & {\color{DarkGreen}1} & {\color{DarkRed}0}\\
-31 & -17 & 59
\end{vmatrix}
=
(-1)^{2+2}\cdot {\color{DarkGreen}1} \cdot \begin{vmatrix}
15 & -22\\
-31 & 59
\end{vmatrix}\)

Przystępujemy do wymnożenia wyznacznika

\((-1)^{2+2}\cdot {\color{DarkGreen}1} \cdot \begin{vmatrix}
15 & -22\\
-31 & 59
\end{vmatrix}
=
1\cdot (15\cdot 59 -(-22)\cdot (-31))=885-682=203\)

Odpowiedź: Wyznacznik macierzy wynosi \(det(B)=203\).