Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Wykres funkcji kwadratowej – Zadanie 3powrót do artykułu głównego

Zbadaj monotoniczność funkcji kwadratowej.
a) \(f(x)=2x^2+3x+7\)

b) \(f(x)=5x^2-2\)

c) \(f(x)=x^2-3x-7\)

d) \(f(x)=3x-2x^2-8\)

e) \(f(x)=90+x^2-3x\)

Zapamiętaj
Monotoniczność wyznaczamy na podstawie parametru \(a\) oraz współrzędnej wierzchołka \(x_w=-\frac{b}{2a}\).
lub
Monotoniczność zależy od parametru \(a\):
- dla \(a>0\) - funkcja rośnie dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\frac{b}{2a};+\infty \right )\), maleje dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\infty;-\frac{b}{2a} \right )\)
- dla \(a<0\) - funkcja maleje dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\frac{b}{2a};+\infty \right )\), rośnie dla \(x \: \epsilon \: \left ( -\infty;-\frac{b}{2a} \right )\)

Rozwiązanie
a)
\(f(x)=2x^2+3x+7\)
Monotoniczność wyznaczamy na podstawie parametru \(a\) oraz współrzędnej wierzchołka \(x_w=-\frac{b}{2a}\).
Współczynnik \(a=2\) oraz \(x_w=-\frac{3}{2\cdot 2}=-\frac{3}{4}\). Funkcja posiada ramiona skierowane ku górze, więc najpierw jest malejąca aż do wierzchołka, następnie od wierzchołka do nieskończoności jest rosnąca.

Odpowiedź:
Funkcja kwadratowa jest rosnąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\infty;-\frac{3}{4} \right \rangle\), funkcja jest malejąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\frac{3}{4};+\infty \right )\).

b)
\(f(x)=5x^2-2=\)
Monotoniczność wyznaczamy na podstawie parametru \(a\) oraz współrzędnej wierzchołka \(x_w=-\frac{b}{2a}\).
Współczynnik \(a=5\) oraz \(x_w=-\frac{0}{2\cdot 5}=0\). Funkcja posiada ramiona skierowane ku górze, więc najpierw jest malejąca aż do wierzchołka, następnie od wierzchołka do nieskończoności jest rosnąca.

Odpowiedź:
Funkcja kwadratowa jest rosnąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\infty;0 \right \rangle\), funkcja jest malejąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( 0;+\infty \right )\).

c)
\(f(x)=x^2-3x-7\)
Monotoniczność wyznaczamy na podstawie parametru \(a\) oraz współrzędnej wierzchołka \(x_w=-\frac{b}{2a}\).
Współczynnik \(a=1\) oraz \(x_w=-\frac{-3}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}\). Funkcja posiada ramiona skierowane ku górze, więc najpierw jest malejąca aż do wierzchołka, następnie od wierzchołka do nieskończoności jest rosnąca.

Odpowiedź:
Funkcja kwadratowa jest rosnąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\infty; 1\frac{1}{2} \right \rangle\), funkcja jest malejąca dla \(x\: \epsilon \: \left (1\frac{1}{2};+\infty \right )\).

d)
\(f(x)=3x-2x^2-8\)
Monotoniczność wyznaczamy na podstawie parametru \(a\) oraz współrzędnej wierzchołka \(x_w=-\frac{b}{2a}\).
Współczynnik \(a=-2\) oraz \(x_w=-\frac{3}{2\cdot (-2)}=-\frac{3}{4}\). Funkcja posiada ramiona skierowane w dół, więc najpierw jest rosnąca aż do wierzchołka, następnie od wierzchołka do nieskończoności jest malejąca.

Odpowiedź:
Funkcja kwadratowa jest malejąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\infty; -\frac{3}{4} \right \rangle\), funkcja jest rosnąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\frac{3}{4};+\infty \right )\).

e)
\(f(x)=90+x^2-3x\)
Monotoniczność wyznaczamy na podstawie parametru \(a\) oraz współrzędnej wierzchołka \(x_w=-\frac{b}{2a}\).
Współczynnik \(a=1\) oraz \(x_w=-\frac{-3}{2\cdot 1}=1\frac{1}{2}\). Funkcja posiada ramiona skierowane ku górze, więc najpierw jest malejąca aż do wierzchołka, następnie od wierzchołka do nieskończoności jest rosnąca.

Odpowiedź:
Funkcja kwadratowa jest rosnąca dla \(x\: \epsilon \: \left ( -\infty; 1\frac{1}{2} \right \rangle\), funkcja jest malejąca dla \(x\: \epsilon \: \left (1\frac{1}{2};+\infty \right )\).