Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Wzór ogólny ciągu - Zadanie 4 powrót do artykułu głównego  


Które wyrazy ciągów przyjmują wartość \(-3\)?

\(a)\: a_n=-n^2+4n-6 \:\:\:\:\:\:b)\: a_n=n^2-2n+2 \:\:\:\:\:\:c) \:a_n=5n^2+4-4\)

 

Aby rozwiązać zadanie należy przyrównać wyraz ogólny ciągu \(a_n\) do \(-3\), więc:

a)

\( a_n=-3\)

\(-n^2+4n-6=-3\)

\(-n^2+4n-6+3=0\)

\(-n^2+4n-3=0\)

Następnie należy rozwiązać równanie kwadratowe

\(\Delta =4^2-4\cdot(-1)\cdot (-3)=16-12=4\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{4}=2\)

\(n_1=\dfrac{-4-2}{-2}=3\:\:\:\:n_2=\dfrac{-4+2}{-2}=1\)

W tym przypadku ciąg przyjmuje wartość -3 dla dwóch wyrazów ciągu, dla \(a_3\) oraz \(a_1\).

Odpowiedź: Ciąg \(a_n\) przyjmuje wartość -3 dla \(a_1\) oraz \(a_3\).

b)

\( a_n=-3\)

\(n^2-2n+2=-3\)

\(n^2-2n+2+3=0\)

\(n^2-2n+5=0\)

Następnie należy rozwiązać równanie kwadratowe

\(\Delta =(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16\)

W przypadku gdy delta wychodzi ujemna, równanie nie ma rozwiązania. Oznacza to, że ciąg \(a_n\) dla żadnego wyrazu nie przyjmuje wartości \(-3\).

Odpowiedź: Podany ciąg \(a_n\) nie przyjmuje wartości -3.

 c)

\( a_n=3\)

\(5n^2+4n-4=-3\)

\(5n^2+4n-4+3=0\)

\(5n^2+4n-1=0\)

Następnie należy rozwiązać równanie kwadratowe

\( \Delta= (-4)^2-4\cdot5\cdot(-1)=16+20=36\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{36}=6\)

\(n_1=\dfrac{4-6}{2\cdot 5} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: n_2=\dfrac{4+6}{2\cdot 5}\)

\(n_1=\dfrac{-2}{10} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: n_2=\dfrac{10}{10}\)

\(n_1=-\dfrac{1}{5} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: n_2=1\)

Wiemy, że \(n\) należy do liczb naturalnych, więc wynik \(-\dfrac{1}{5}\) odrzucamy. Tak więc podany ciąg przyjmuje wartość \(-3\) dla \(a_1\).

Odpowiedź: Podany ciąg \(a_n\) przyjmuje wartość -3 dla \(a_1\).




Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3 

Zadanie 5 

Zadanie 6