Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Wzory Viete’a – Zadanie 1powrót do artykułu głównego

Wyznacz wartość parametru m, dla którego równanie \(x^2+2mx+m^2-1=0\) posiada sumę różnych pierwiastków równą 6.

Zapamiętaj

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)

\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)

Rozwiązanie

Podane równanie \(x^2+2mx+m^2-1=0\)jest równaniem kwadratowym. Musi ono posiadać różne rozwiązania, czyli \(\Delta>\). Jednocześnie z treści zadania wiemy, że suma różnych pierwiastków musi być równa 6, czyli \(x_1+x_2=6\).

Zacznijmy od \(\Delta>0\)

\(\Delta>0\)

\(b^2-4ac>0\)

\((2m)^2-4\cdot 1\cdot (m^2-1)>0\)

\(4m^2-4m^2+4>0\)

\(4>0\)

Otrzymaliśmy wyrażenie zawsze prawdziwe, oznacza to, że dla dowolnego \(m\) równanie posiada dwa pierwiastki różne.

Wyznaczmy \(m\) z wyrażenia \(x_1+x_2=6\), pamiętając o wzorach Viete’a.

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)

\(-\frac{b}{a}=6\)

\(-\frac{2m}{1}=6\)

\(-2m=6 \:\: / \: :(-2)\)

\(m=-3\)

Odpowiedź:
Szukanym parametrem\(m=-3\) dla którego równanie posiada sumę rozwiązań równą 6.