Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Wzory Viete’a – Zadanie 2powrót do artykułu głównego

Wyznacz wartość parametru m dla którego równanie \(mx^2+(m+3)x-1=0\) posiada dwa różne pierwiastki dodatnie.

Zapamiętaj

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)

\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)

Rozwiązanie

Aby równanie posiadało dwa rozwiązania musi to być równanie kwadratowe, czyli parametr \(a\neq 0\). Równanie musi posiadać dwa różne rozwiązania, czyli \(\Delta>0\). Oraz pierwiastki równania myszą być dodatnie, a to można zapisać w postaci nierówności \(x_1+x_2 \geqslant 0\) oraz \(x_1\cdot x_2 \geqslant 0\).

Pierwszy warunek

\(a\neq 0\)

\(m\neq 0\)

Drugi warunek

\(\Delta >0\)

\(b^2-4ac >0\)

\((m+3)^2-4\cdot m\cdot (-1)>0\)

\(m^2+6m+9+4m>0\)

\(m^2+10m+9>0\)

Rozwiązujemy nierówność

\(\Delta_m=10^2-4\cdot 1\cdot 9=100-36=64\)

\(\sqrt{\Delta_m}=\sqrt{64}=8\)

\(m_1=\frac{-10-8}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{-10+8}{2\cdot 1}\)

\(m_1=\frac{-18}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{-2}{2}\)

\(m_1=-9 \:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=-1\)

Nierówność posiada parametr a większy od zera czyli ramiona są skierowane do góry, więc rozwiązaniem jest:

\(m\: \epsilon \: (-\infty;-9)\cup (-1;+\infty)\)

Trzeci warunek

\(x_1+x_2 \geqslant 0\)

Z wzorów Viete’a

\(-\frac{b}{a}\geqslant 0\)

\(-\frac{m+3}{m}\geqslant 0\)

Już wcześniej ustalono, że \(m\neq 0\).

\(-\frac{m+3}{m}\geqslant 0 \:\: / \: \cdot m^2\)

\(-(m+3)\cdot m \geqslant 0\)

Jest to postać iloczynowa równania kwadratowego, więc łatwo odczytać, że \(m_1=-3\) oraz \(m_2=0\). Współczynnik \(a\) jest ujemny więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Rozwiązaniem jest więc:

\(m \: \epsilon \: \left \langle -3;0 \right \rangle\)

Czwarty warunek

\(x_1\cdot x_2 \geqslant 0\)

Z wzorów Viete’a

\(\frac{c}{a}\geqslant 0\)

\(\frac{-1}{m}\geqslant 0 \:\: / \: \cdot m^2\)

\(-m\geqslant 0 \:\: / \: \cdot (-1)\)

\(m\leqslant 0\)

Rozwiązaniem warunku jest \(m \: \epsilon \: \left ( -\infty ; 0 \right \rangle\)

Podsumowując wszystkie warunki:

1) \(m\neq 0\)

2) \(m\: \epsilon \: (-\infty;-9)\cup (-1;+\infty)\)

3) \(m \: \epsilon \: \left \langle -3;0 \right \rangle\)

4) \(m \: \epsilon \: \left ( -\infty ; 0 \right \rangle\)

Częścią wspólną podanych zbiorów jest \(m \: \epsilon \: (-1;0)\)

Odpowiedź:
Aby podane równanie \(mx^2+(m+3)x-1=0\) posiadało dwa różne pierwiastki dodatnie, parametr musi należeć do zbioru \( m \: \epsilon \: (-1;0)\)