Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.



Wzory Viete’a – Zadanie 3powrót do artykułu głównego

Dla jakiego parametru m suma kwadratów różnych pierwiastki równania \(x^2+(m-1)x+m=0\) jest równa 1.

Zapamiętaj

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)

\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)

Rozwiązanie

Równanie musi mieć dwa różne rozwiązania - \(\Delta > 0\). Z treści zadania odczytujemy „suma kwadratów różnych pierwiastki jest równa 1” - \( x_1^2+x_2^2=1\). Są to warunki jakie musimy rozwiązać ze względu na parametr \(m\).

Warunek pierwszy

\(\Delta >0\)

\(b^2-4ac >0\)

\((m-1)^2-4\cdot 1\cdot m>0\)

\(m^2-2m+1-4m >0\)

\(m^2-6m+1>0\)

Rozwiązujemy powyższą nierówność kwadratową.

\(\Delta_m=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 1=36-4=32\)

\(\sqrt{\Delta_m}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)

\(m_1=\frac{-(-6)-4\sqrt{2}}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{-(-6)+4\sqrt{2}}{2\cdot 1}\)

\(m_1=\frac{6-4\sqrt{2}}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{6+4\sqrt{2}}{2}\)

\(m_1=3-2\sqrt{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=3+2\sqrt{2}\)

Współczynnik \(a\) nierówności jest dodatni, więc ramiona są skierowane ku górze, oznacza to, że rozwiązaniem nierówności jest:

\(m \: \epsilon \: (-\infty; 3-2\sqrt{2}) \cup (3+2\sqrt{2};+\infty ) \) 

Warunek drugi

\( x_1^2+x_2^2=1\)

Pamiętając o wzorze

\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}\)

Otrzymujemy

\(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}=1\)

\(\frac{(m-1)^2}{1^2}-\frac{2m}{1}=1\)

\((m-1)^2-2m=1\)

\( m^2-2m+1-2m=1\)

\( m^2-4m=0\)

Rozwiązujemy równanie

\(\Delta_m=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 0=12\)

\(\sqrt{\Delta_m}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)

\(m_1=\frac{-(-4)-2\sqrt{3}}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{-(-4)+2\sqrt{3}}{2\cdot 1}\)

\(m_1=\frac{4-2\sqrt{3}}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\)

\(m_1=2-\sqrt{3} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=2+\sqrt{3}\)

Rozwiązaniem równania jest \(m=2-\sqrt{3}\) lub \(m=2+\sqrt{3}\)

Podsumowanie warunków

1) \(m \: \epsilon \: (-\infty; 3-2\sqrt{2}) \cup (3+2\sqrt{2};+\infty ) \) 

2) \(m=2-\sqrt{3}\) lub \(m=2+\sqrt{3}\) 

Częścią wspólną tych warunków jest \( m \: \epsilon \: \emptyset\)

Odpowiedź:
Nie istnieje taki parametr \(m\) dla którego równanie posiada sumę kwadratów różnych pierwiastków równą 1.