Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług i zgodnie z polityką plików cookies.
Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do plików cookies w Twojej przeglądarce.

Ekstremum funkcji (minimum, maksimum)


Ekstremum funkcji pochodzi od łacińskiego słowa extremus oznaczającego skrajny, krańcowy, ostatni i jest to maksimum bądź minimum. W oddzielnym artykule zaprezentowano przykład obliczania ekstremum funkcji.
Ekstremum funkcji

Definicja ekstremum

Jeżeli wartość funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) jest nie mniejsza od wartości tej funkcji w dostatecznie małym otoczeniu punktu \(x_0\), tj. 

\(f(x_0)\geqslant f(x)\)    dla    \(x\epsilon U(x_0,\delta )\)  (sąsiedztwo),

to w punkcie \(x_0\) funkcja osiąga maksimum lokalne; gdy

\(f(x_0)> f(x)\)    dla    \(x\epsilon S(x_0,\delta )\)  (sąsiedztwo),

wtedy funkcja w punkcie \(x_0\) posiada maksimum właściwe.

Jeżeli wartość funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) jest nie większa od wartości tej funkcji w dostatecznie małym otoczeniu punktu \(x_0\), tj.

\(f(x_0)\leqslant f(x)\)     dla     \(x\epsilon U(x_0,\delta )\)  (sąsiedztwo),

to mówimy o minimum lokalnym w punkcie \(x_0\); gdy

\(f(x_0)< f(x)\) dla \(x\epsilon S(x_0,\delta )\) (sąsiedztwo),

to funkcja w punkcie \(x_0\) posiada minimum właściwe.

gdzie:

\(S(x_0,\delta )=S^-(x_0,\delta )\cup S^+(x_0,\delta )\)

\(U(x_0,\delta )=U^-(x_0,\delta )\cup U^+(x_0,\delta )\)



Warunek konieczny istnienia ekstremum. Twierdzenie Fermata. 

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego w punkcie \(x_0\) funkcji \(f(x)\) różniczkowalnej w tym punkcie jest zerowanie się pierwszej pochodnej w tym punkcie, \(f'(x)=0\).


Twierdzenie Fermata nie rozstrzyga ostatecznie i istnieniu ekstremum, np. pochodna z funkcji \(f(x)=x^3\) wynosi \(f'(x)=3x^2\) i jest równa zero dla \(x=0\), jednak w tym punkcie nie ma ekstremum. Poza warunkiem koniecznym istnienia ekstremum trzeba spełnić warunek wystarczający istnienia ekstremum.

Warunek wystarczający istnienia ekstremum:

Warunkiem wystarczającym na to, by funkcja różniczkowalna w otoczeniu \(U(x_0,\delta )\) posiadała w punkcie \(x_0\) ekstremum lokalne jest, by:
1) \(f'(x)=0\)
2)
    a) \(f'(x) > 0\) dla \(x_0-\delta <x<x_0\)  i  \(f'(x)<0\) dla \(x_0<x<x_0+\delta\) funkcja osiąga maksimum lokalne

    b) \(f'(x) < 0\) dla \(x_0-\delta <x<x_0\) i \(f'(x)>0\) dla \(x_0<x<x_0+\delta\) funkcja osiąga minimum lokalne

Można to przeczytać:

Jeśli przy zerowaniu się pierwszej pochodnej w punkcie \(x_0\) następuje zmiana znaku tej pochodnej przy przejściu przez ten punkt \(x_0\), to w punkcie \(x_0\) jest ekstremum lokalne, przy czym przy zmianie znaku z minusa na plus jest minimum lokalne, przy zmianie z plusa na minus jest maksimum lokalne.