Wzory redukcyjne

Przydatne kalkulatory i narzędzia

Trygonometryczne wzory redukcyjne

Korzystając z wzorów redukcyjnych możemy wartość funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta zapisać w postaci funkcji trygonometrycznej kąta ostrego, co ułatwi nam obliczenie wartości jeśli nie posiadamy przy sobie kalkulatora. Takie uproszczenie pozwoli nam wykonywać działania np. mając \(cos \: 135^o\) możemy go zapisać w postaci \(cos (180^o - 45^o)\), co po uproszczeniu daje nam \(-cos \: 45^o\) co jest równe \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

 

\(\varphi\) \(sin \: \varphi\) \(cos \:\varphi\) \(tg \: \varphi\) \(ctg \: \varphi\)
\( - \alpha\) \( - \alpha\) \(- sin \: \alpha\) \(cos \: \alpha\) \(- tg \: \alpha\) \(- ctg \: \alpha\)
\(90^o + \alpha\) \(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\) \(cos \: \alpha\) \(- sin \: \alpha\) \(- ctg \: \alpha\) \(- tg \: \alpha\)
\(90^o - \alpha\) \(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\) \(cos \: \alpha\) \(sin \: \alpha\) \(ctg \: \alpha\) \(tg \: \alpha\)
\(180^o + \alpha\) \(\pi +\alpha\) \(- sin \: \alpha\) \(- cos \: \alpha\) \(tg \: \alpha\) \(ctg \: \alpha\)
\(180^o - \alpha\) \(\pi -\alpha\) \(sin \: \alpha\) \(- cos \: \alpha\) \(- tg \: \alpha\) \(- ctg \: \alpha\)
\(270^o  + \alpha\) \(\dfrac{3}{2} \pi + \alpha\) \(- cos \: \alpha\) \(sin \: \alpha\) \(- ctg \: \alpha\) \(-tg \: \alpha\)
\(270^o  - \alpha\) \(\dfrac{3}{2} \pi + \alpha\) \(- cos \: \alpha\) \(- sin \: \alpha\) \( ctg \: \alpha\) \(tg \: \alpha\)
\(360^o  + \alpha\) \( 2\pi + \alpha\) \(sin \: \alpha\) \(cos \: \alpha\) \(tg \: \alpha\) \( ctg \: \alpha\)
\(360^o  - \alpha\) \( 2\pi - \alpha\) \(- sin \: \alpha\) \(cos \: \alpha\) \(- tg \: \alpha\) \(- tg \: \alpha\)


Przykłady:

\(sin \:150^o = sin(90^o + 60^o) = cos \: 60^o = \dfrac{1}{2}\)
\(cos \: 120^o = cos(180^o - 60^o) = -cos \: 60^o = -\dfrac{1}{2}\)
\(tg \: (240^o) = tg(270^o - 30^o) = ctg \: 30^o = \sqrt{3}\)

Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów

\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
 

 

 

 

 

\(\varphi\) \(sin \: \varphi\) \(cos \:\varphi\) \(tg \: \varphi\) \(ctg \: \varphi\)
\( - \alpha\) \( - \alpha\) \(- sin \: \alpha\) \(cos \: \alpha\) \(- tg \: \alpha\) \(- ctg \: \alpha\)
\(90^o + \alpha\) \(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\) \(cos \: \alpha\) \(- sin \: \alpha\) \(- ctg \: \alpha\) \(- tg \: \alpha\)
\(90^o - \alpha\) \(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\) \(cos \: \alpha\) \(sin \: \alpha\) \(ctg \: \alpha\) \(tg \: \alpha\)
\(180^o + \alpha\) \(\pi +\alpha\) \(- sin \: \alpha\) \(- cos \: \alpha\) \(tg \: \alpha\) \(ctg \: \alpha\)
\(180^o - \alpha\) \(\pi -\alpha\) \(sin \: \alpha\) \(- cos \: \alpha\) \(- tg \: \alpha\) \(- ctg \: \alpha\)
\(270^o  + \alpha\) \(\dfrac{3}{2} \pi + \alpha\) \(- cos \: \alpha\) \(sin \: \alpha\) \(- ctg \: \alpha\) \(-tg \: \alpha\)
\(270^o  - \alpha\) \(\dfrac{3}{2} \pi + \alpha\) \(- cos \: \alpha\) \(- sin \: \alpha\) \( ctg \: \alpha\) \(tg \: \alpha\)
\(360^o  + \alpha\) \( 2\pi + \alpha\) \(sin \: \alpha\) \(cos \: \alpha\) \(tg \: \alpha\) \( ctg \: \alpha\)
\(360^o - \alpha\) \( 2\pi - \alpha\) \(- sin \: \alpha\) \(cos \: \alpha\) \(- tg \: \alpha\) \(- tg \: \alpha\)
cos \: 60^o = \dfrac{1}{2}\)