Trygonometryczne wzory redukcyjne
Korzystając z wzorów redukcyjnych możemy wartość funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta zapisać w postaci funkcji trygonometrycznej kąta ostrego, co ułatwi nam obliczenie wartości jeśli nie posiadamy przy sobie kalkulatora. Takie uproszczenie pozwoli nam wykonywać działania np. mając \(cos \: 135^o\) możemy go zapisać w postaci \(cos (180^o - 45^o)\), co po uproszczeniu daje nam \(-cos \: 45^o\) co jest równe \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
| \(\varphi\) | \(sin \: \varphi\) | \(cos \:\varphi\) | \(tg \: \varphi\) | \(ctg \: \varphi\) | |
| \( - \alpha\) | \( - \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) |
| \(90^o + \alpha\) | \(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) |
| \(90^o - \alpha\) | \(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(ctg \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) |
| \(180^o + \alpha\) | \(\pi +\alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) | \(ctg \: \alpha\) |
| \(180^o - \alpha\) | \(\pi -\alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) |
| \(270^o + \alpha\) | \(\dfrac{3}{2} \pi + \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) | \(-tg \: \alpha\) |
| \(270^o - \alpha\) | \(\dfrac{3}{2} \pi + \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \( ctg \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) |
| \(360^o + \alpha\) | \( 2\pi + \alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) | \( ctg \: \alpha\) |
| \(360^o - \alpha\) | \( 2\pi - \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) |
Przykłady:
\(sin \:150^o = sin(90^o + 60^o) = cos \: 60^o = \dfrac{1}{2}\)
\(cos \: 120^o = cos(180^o - 60^o) = -cos \: 60^o = -\dfrac{1}{2}\)
\(tg \: (240^o) = tg(270^o - 30^o) = ctg \: 30^o = \sqrt{3}\)
Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
| \(\varphi\) | \(sin \: \varphi\) | \(cos \:\varphi\) | \(tg \: \varphi\) | \(ctg \: \varphi\) | |
| \( - \alpha\) | \( - \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) |
| \(90^o + \alpha\) | \(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) |
| \(90^o - \alpha\) | \(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(ctg \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) |
| \(180^o + \alpha\) | \(\pi +\alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) | \(ctg \: \alpha\) |
| \(180^o - \alpha\) | \(\pi -\alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) |
| \(270^o + \alpha\) | \(\dfrac{3}{2} \pi + \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) | \(-tg \: \alpha\) |
| \(270^o - \alpha\) | \(\dfrac{3}{2} \pi + \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \( ctg \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) |
| \(360^o + \alpha\) | \( 2\pi + \alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) | \( ctg \: \alpha\) |
| \(360^o - \alpha\) | \( 2\pi - \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) |
cos \: 60^o = \dfrac{1}{2}\)
Opinie - Wzory redukcyjne