Dzięki trygonometrycznym wzorom redukcyjnym możemy zapisywać wartości funkcji trygonometrycznej zawsze w postaci funkcji kąta ostrego, co przyspiesza i ułatwia obliczenia.
Trygonometryczne wzory redukcyjne
„W pierwszej ćwiartce same plus,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej tangens i cotangens,
a w czwartej cosinus”.
| \(\varphi\) | \(sin \: \varphi\) | \(cos \:\varphi\) | \(tg \: \varphi\) | \(ctg \: \varphi\) | |
| \( - \alpha\) | \( - \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) |
| \(90^o + \alpha\) | \(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) |
| \(90^o - \alpha\) | \(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(ctg \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) |
| \(180^o + \alpha\) | \(\pi +\alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) | \(ctg \: \alpha\) |
| \(180^o - \alpha\) | \(\pi -\alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) |
| \(270^o + \alpha\) | \(\dfrac{3}{2} \pi + \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) | \(-tg \: \alpha\) |
| \(270^o - \alpha\) | \(\dfrac{3}{2} \pi + \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \( ctg \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) |
| \(360^o + \alpha\) | \( 2\pi + \alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) | \( ctg \: \alpha\) |
| \(360^o - \alpha\) | \( 2\pi - \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) |
Przykłady:
\(sin \:150^o = sin(90^o + 60^o) = cos \: 60^o = \dfrac{1}{2}\)
\(cos \: 120^o = cos(180^o - 60^o) = -cos \: 60^o = -\dfrac{1}{2}\)
\(tg \: (240^o) = tg(270^o - 30^o) = ctg \: 30^o = \sqrt{3}\)
Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów
Czym jest trygonometria?
Trygonometria to dział matematyki, sytuowany na pograniczu geometrii płaskiej i analizy, a badający funkcje trygonometryczne oraz związki miarowe między bokami i kątami trójkątów. Trygonometrią zajmowali się już starożytni uczeni, przede wszystkim greccy, z epoki hellenistycznej (to Grecy zaczęli używać miar kąta, przed nimi co prawda zajmowano się trójkątami, ale raczej biorąc tylko pod uwagę ich boki). Wówczas jeszcze związana była bardziej z praktycznym wykorzystaniem jej w nawigacji, astronomii, geodezji. Pierwsze tablice trygonometryczne są najprawdopodobniej dziełem Hipparcha, był więc to II wiek p.n.e. Hipparch/Hipparchos z Nikei (to dzisiejsza Turcja) był matematykiem, ale i geografem czy astronomem, to on jako pierwszy zmierzył odległość Ziemi od Księżyca, wprowadził pojęcia południków i równoleżników, wielkości gwiazdowych, podobno wynalazł astrolabium, a także jest autorem wielkiego atlasu opisującego blisko 1100 gwiazd. Jego prace związane z trygonometrią (tablice Hipparcha nie dotrwały do naszych czasów) kontynuowali Arystarch z Samos, Menelaos z Aleksandrii i Klaudiusz Ptolomeusz. Kamienie milowe w tej dziedzinie matematyki położyli też uczeni z Indii (mowa tu zwłaszcza o Aryabhacie, który także ułożył tablice funkcji trygonometrycznych), kręgu kultury arabskiej oraz z Chin. W Europie trygonometrią zainteresowano się ponownie w renesansie za sprawą Regiomontanusa, który jako pierwszy traktował trygonometrię jako oddzielną dziedzinę matematyki. Wybitne odkrycia związane z trygonometrią mają też Isaac Newton i Leonhard Euler. Ten ostatni uważany jest za twórcę współczesnego ujęcia trygonometrii.
| \(\varphi\) | \(sin \: \varphi\) | \(cos \:\varphi\) | \(tg \: \varphi\) | \(ctg \: \varphi\) | |
| \( - \alpha\) | \( - \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) |
| \(90^o + \alpha\) | \(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) |
| \(90^o - \alpha\) | \(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(ctg \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) |
| \(180^o + \alpha\) | \(\pi +\alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) | \(ctg \: \alpha\) |
| \(180^o - \alpha\) | \(\pi -\alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) |
| \(270^o + \alpha\) | \(\dfrac{3}{2} \pi + \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(- ctg \: \alpha\) | \(-tg \: \alpha\) |
| \(270^o - \alpha\) | \(\dfrac{3}{2} \pi + \alpha\) | \(- cos \: \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \( ctg \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) |
| \(360^o + \alpha\) | \( 2\pi + \alpha\) | \(sin \: \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(tg \: \alpha\) | \( ctg \: \alpha\) |
| \(360^o - \alpha\) | \( 2\pi - \alpha\) | \(- sin \: \alpha\) | \(cos \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) | \(- tg \: \alpha\) |
Opinie - Wzory redukcyjne