Tabela wzorów pochodnych wybranych funkcji
| Wzór funkcji \(y=f(x)\) | Pochodna \(f' (x)\) funkcji \(f\) |
| \(f(x) = a\) | \((a)' = 0\) |
| \(f(x) = x\) | \((x)' = 1\) |
| \(f(x) = ax + b\) | \(( ax + b)' = a\) |
| \(f(x) = ax^2 + bx + c\) | \((ax^2 + bx + c)' = 2ax + b\) |
| \(f(x) = x^{\alpha}\) | \((x^{\alpha})' = \alpha \cdot x^{\alpha - 1}\) |
| \(f(x) = \sqrt{x}\) | \((\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) |
| \(f(x) = \sqrt[n]{x}\) | \((\sqrt[n]{x})' = \dfrac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}}, \: \: n \in N \setminus \left \{0, 1 \right \}\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) | \((\dfrac{1}{x})' = \dfrac{-1}{x^2}\) |
| \(f(x) = \dfrac{a}{x}\) | \((\dfrac{a}{x})' = \dfrac{-a}{x^2}\) |
| \(f(x) = sin \: x\) | \(( sin \: x)' = cos \: x\) |
| \(f(x) =cos \: x\) | \(( cos \: x)' = -sin \: x\) |
| \(f(x) = tg\: x\) | \((tg\: x)' =\dfrac{1}{cos^2 x}\) |
| \(f(x) = ctg\: x\) | \((ctg\: x)' = -\dfrac{1}{sin^2 x}\) |
| \(f(x) = a^x\) | \((a^x)' = a^x \cdot ln \: a\) |
| \(f(x) = e^x\) | \((e^x)' = e^x\) |
| \(f(x) = ln \: x\) | \((ln \: x)' = \dfrac{1}{x}\) |
| \(f(x) = ln \left | x \right | \) | \((ln \left | x \right |)' = \dfrac{1}{x}\) |
| \(f(x) = log_a x\) | \((log_a x)' = \dfrac{1}{x \: ln a}\) |
| \(f(x) = arc \: sin \: x\) | \((arc \: sin \: x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) |
| \(f(x) = arc \: cos \: x\) | \((arc \: cos\: x)' = \dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}\) |
| \(f(x) = arc \: tg \: x\) | \((arc \: tg \: x)' = \dfrac{1}{1 + x^2}\) |
| \(f(x) = arc \: ctg \: x\) | \((arc \: ctg \: x)' = \dfrac{-1}{1 + x^2}\) |
Co to jest pochodna funkcji?
Pochodną funkcji można nazwać miarę szybkości funkcji, czyli tempa zmian jej wartości względem zmian jej argumentów. Inaczej opisuje ona tempo zmian funkcji w danym punkcie. Można też powiedzieć, że to nachylenie prostej stycznej do wykresu funkcji w danym konkretnym punkcie. Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie pewnego zbioru, to ma w tym zbiorze funkcję pochodną. To definicje ogólne, bowiem istnieje wiele różnych funkcji, dokładne definicje przypisane są już danym kontekstom. Funkcję oznaczamy f (x), a jej pochodną f' (x), co upowszechnił Lagrange, aczkolwiek można się czasem spotkać z innymi oznaczeniami, które promował Gottfried Wilhelm Leibniz (df (x)/dx) czy Augustin Louis Cauchy (Df (x) ). Wspomniany powyżej iloraz różnicowy to jedno z ważniejszych pojęć w tej dziedzinie – jest to wielkość, która opisuje przyrost wartości funkcji względem przyrostu argumentów w określonym przedziale. Pamiętać trzeba też, że w sytuacji, gdy nie istnieje styczna do wykresu funkcji w punkcie x0, to nie istnieje także pochodna danej funkcji w tymże punkcie.
Za naukowca, który położyć podwaliny pod teorie związane z funkcjami pochodnymi uważa się Pierre'a de Fermata, który odkrył metodę znajdowania minimów i maksimów funkcji algebraicznej, ale za autorów współczesnego opracowania tego tematu już Isaaca Barrowa i Isaaca Newtona. Żyjący w XVII wieku Barrow – na równi zajmował się teologią i matematyką – był nauczycielem samego Isaaca Newtona (który zresztą potem przejął po swym nauczycielu stanowisko niezwykle prestiżowej katedry matematyki Lucasa). Barrow był niezwykle barwną postacią, choć niski i szczupły, od dziecka miał duszę wojownika, sprawiał kłopoty w większości szkół, do których uczęszczał, ale i potrafił w pojedynkę uratować statek przed atakiem piratów, kiedy to wracał z Turcji (wiele podróżował, głównie w celach poszerzenia wiedzy). Niechlujnie ubrany, nierozstający się z tytoniem (i nadużywający opium, co prawdopodobnie skróciło mu znacznie życie), słynął jednak z dowcipu i elokwencji, dzięki czemu był ulubieńcem królewskiego dworu. W świecie matematyki zasłynął jako pionier w rozwoju badań nad rachunkiem nieskończenie małym, a także autor dowodu podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego.
Opinie - Wzory pochodnych wybranych funkcji
Pochodna funkcji f(x)=ax+b/x+1