Ciąg geometryczny

Przydatne kalkulatory i narzędzia

Ciąg geometryczny jest to ciąg liczbowy, którego każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stała liczbę q, konsekwencją tego jest stała wartość ilorazu między dwoma kolejnymi wyrazami \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q\) gdzie liczbę q nazywamy ilorazem ciągu.

Definicja

\(\bigvee\limits_{q\neq 0} \bigwedge\limits_{n\:\epsilon N} a_{n+1}=a_n\cdot q\)

Jeżeli istnieje taka liczba q różna od zera, że dla każdego n należącego do zbioru liczb naturalnych wyraz następny ciągu jest równy iloczynowi wyrazu poprzedniego i liczby q.

Aby zdefiniować ciąg arytmetyczny wystarczy wskazać pierwszy wyraz ciągu (a1) oraz iloraz ciągu (q).

Do obliczenia ilorazu ciągu, najczęściej stosuje się przekształcenie wzoru występującego w definicji ciągu geometrycznego:

\(q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\)

Przykład ciągu geometrycznego:

1) a1=1 ; q=3 ;        1; 3; 9; 27; 81; 243; 729;...

2) a1=1000 ; q=0,1 ; 1000; 100; 10; 1; 0,1; 0,01; 0,001;...

można też definiować ciąg za pomocą wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego.

\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)

gdzie:

\(a_n\) – n-ty wyraz ciągu geometrycznego,

\(a_1\) – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,

\(n\) – numer rozpatrywanego wyrazu,

\(q\) – iloraz ciągu geometrycznego,

Często używaną własnością ciągu geometrycznego jest:

\(a^2_n=a_{n-1}\cdot a_{n+1}\)

Własność ta łączy trzy kolejne wyrazy ciągu, niekoniecznie pierwsze trzy, mogą to być dowolne kolejne trzy wyrazy ciągu.

Do obliczenia sumy n-początkowych wyrazów ciągu używamy wzoru:

\(S_n=a_1\cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}\)

gdzie:

\(S_n\) – suma n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego,

\(a_1\) – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,

\(q\) – iloraz ciągu geometrycznego,

\(n\) – numer ostatniego z rozpatrywanych wyrazów ciągu,


Przykładowe zadania

Zad. 1) Ciąg geometryczny określony jest wzorem \(a_n=2\cdot 5^n\). Ile wynosi pierwszy wyraz ciągu \((a_1)\) oraz iloraz ciągu \((q)\)? Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Podane liczby w kolejności są pierwszymi liczbami ciągu geometrycznego. Oblicz \(a_1 \: ; q \: ; a_{10} \: ; a_{13}\).
a) 2; 4; 8; 16; 32; … b) 6, 18, 54, 162, 486, … c) 0,5; 5; 50; 500; 5000, …     Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Liczby 7, 2+6x, 28 w podanej kolejności są początkowymi wyrazami ciągu geometrycznego . Oblicz x.     Zobacz rozwiązanie

Zad. 4) Zbadaj, czy podany ciąg jest ciągiem geometrycznym.
a) \(a_n=3\cdot 4^n\) b) \(a_n=5n\)         Zobacz rozwiązanie

Zad. 5) Wyrażenia x-1; 3; 5x-1 w podanej kolejności są początkowymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz x.      Zobacz rozwiązanie

Zad. 6) Mając dane dwa wyrazy ciągu geometrycznego, wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu:
a) \(a_3=24 \:\:\:\:\: a_4=48\) b) \(a_3=2376 \:\:\:\: a_4=14256\)       Zobacz rozwiązanie

Zad. 7) Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego mając dane:
\(a_2=49 \:\:\:\:\: a_5=16807\) b) \(a_7=8748 \:\:\:\:\: a_{11}=708588\)    Zobacz rozwiązanie

Zad. 8) Oblicz sumę pierwszych 8 wyrazów ciągu geometrycznego:
a) 2, 4, 8, 16, 32, …. b) 5, 25, 125, 625, 3125, …      Zobacz rozwiązanie