Dany jest układ \(m\) równań liniowych z \(n\) niewiadomymi:
\(A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}\)
Na podstawie twierdzenia Kroneckera-Capellego, możemy ocenić liczbę rozwiązań układu równań. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby powyższy układ miał rozwiązanie jest równość rzędów macierzy głównej \(A\) i macierzy uzupełnionej \(U\) czyli: \(r(A) = r(U)\).
• Jeśli \(r(A) = r(U) = n\), gdzie \(n\) jest liczba niewiadomych, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie i nazywa się układem niezależnym (oznaczonym). Jeśli rząd macierzy jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej i równy ilości niewiadmoych, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie i nazywa się układem niezależnym (oznaczonym).
• Jeśli \(r(A) = r(U) = r < n\), to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od \(n - r\) parametrów i nazywa się układem zależnym (nieoznaczonym). Jeśli rząd macierzy jest równy rządowi macierzy uzupełnionej oraz są one mniejsze od liczby niewiadomych, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od \(n - r\) parametrów i nazywa się układem zależnym (nieoznaczonym).
• Jeśli \(r(A) \neq r(U)\), to układ nie ma rozwiązań i nazywa się układem sprzecznym. Jeśli rząd macierzy jest rózny od rzędu macierzy uzupełnionej, to układ nie ma rozwiązań i nazywa się układem sprzecznym.
Przykład:
Mając poniższy układ równań, na poczatku jesteśmy w stanie stwierdzić, że ilość naszych niewiadomych to \(n=3\), niewiadome to \(x,y,z\).Aby określić liczbę rozwiązań układu równań:
\(\begin{cases} x - 2y + 3z =1 \\ 2x - 4y + 6z = 2 \\ 3x - 6y + 9z =3 \end{cases}\)
na podstawie zaznaczonych elementów tworzymy macierze i obliczamy ich wyznacznik
\(\begin{cases} {\color{red}1} x {\color{red}{- 2}}y + {\color{red}3}z = {\color{green}1} \\ {\color{red}2}x {\color{red}{- 4}}y + {\color{red}6}z = {\color{green}2} \\ {\color{red}3}x {\color{red}{- 6}}y + {\color{red}9}z = {\color{green}3} \end{cases}\)
Macierze główna i uzupełniona mają postać:
\(A = \begin{bmatrix}1 & -2 & 3\\ 2 & -4 & 6\\ 3 & -6 & 9\end{bmatrix}\), \(U = \begin{bmatrix}1 & -2 & 3 & 1\\ 2 & -4 & 6 & 2\\ 3 & -6 & 9 & 3\end{bmatrix}\)
Najpierw wyznacznik główny układu (jeśli potrzeba to wzór na obliczanie wyznacznika macierzy 3x3):
\(W = \begin{vmatrix}1 & -2 & 3\\ 2 & -4 & 6\\ 3 & -6 & 9\end{vmatrix} =0\)
Jeśli wyznacznik macierzy głównej jest równy zero, to w następnej kolejności obliczamy wszystkie macierze 2x2, utworzone przez skreślenie dowolnej kolumny i dowolnego wiersza (w macierzy 3x3 jest ich dziewięć). Jednak licząc wyznaczniki macierzy 2x2 w tym przypadku otrzymamy same zera. Więc licząc dalej rząd macierzy ustalamy na 1, czyli \(r(A)=1\), podobnie bedzie przy wyznaczaniu rzędu macierzy uzupełnionej \(U\). W naszym przypadku warto jednak najpierw zauważyć, że zarówno w macierzy \(A\) jak i w \(U\) wiersz pierwszy pomnożony razy dwa daje wiersz drugi, a pierwszy pomnożony przez trzy daje wiersz trzeci, więc możemy uniknąć długich obliczeń wykonując następująca operację.
W obu macierzach ( \(A\) i \(U\) ) od trzeciego wiersza odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez 3, a od drugiego wiersza odejmujemy także wiersz pierwszy pomnożony przez 2.
Otrzymujemy:
\(\begin{bmatrix}1 & -2 & 3\\ 0 & \: \: 0 & 0\\0 & \: \: 0 & 0\end{bmatrix}\) oraz \(\begin{bmatrix}1 & -2 & 3 & 1\\ 0 & \: \: 0 & 0 & 0\\ 0 & \: \: 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\)
W takiej sytuacji rząd macierzy w pierszym i drugim przypadku jest zawsze 1.
\(r(A)=1\)
\(r(U)=1\)
Zatem:
\(r(A) = r(U) = 1 < n=3\)
Badany układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów.
Twierdzenie Kroneckera-Capellego Wasze opinie