Macierz odwrotna - opis

Wzór:
\(A^{-1}= {(A^D)}^T \cdot \frac{1}{det(A)}\)
gdzie:

\(A^{-1}\) - macierz odwrotna

\(A^D\) - macierz dopełnień algebraicznych

\({(A^D)}^T\) - macierz dołączona - czyli transponowana z macierzy dopełnień algebraicznych

\(det(A)\) - wyznacznik macierzy

Nie można obliczyć macierzy odwrotnej z macierzy osobliwej, czyli takiej której wyznacznik jest równy zero. Więc jeśli liczysz macierz odwrotną zawsze zaczynaj od obliczania wyznacznika macierzy, jesli wyjdzie on zero to znaczy, że z danej macierzy nie można obliczyć macierzy odwrotnej.

Jednak gdy mamy macierze większych wymiarów, łatwiej jest (dużo prostsza i szybsza metoda) skorzystać z metody Gaussa-Jordana.

Teoria

Macierz odwrotna jest określona tylko dla macierzy kwadratowych, których wyznacznik jest niezerowy. Macierz odwrotna \(A^{-1}\) do macierzy kwadratowej \(A\) to macierz spełniająca równanie \(A^{-1}A =AA^{-1}= I\), gdzie \(I\) to macierz jednostkowa.

Jeśli macierz \(A^{-1}\) istnieje to macierz \(A\) nazywamy odwracalną, a jeśli macierz \(A^{-1}\) nie istnieje to macierz \(A\) nazywamy nieodwracalną. Jeśli macierz \(A\) jest odwracalna to istnieje tylko jedna macierz odwrotna \(A^{-1}\).

Własności macierzy odwrotnej:

  • macierzą odwrotną do macierzy jednostkowej jest ta sama macierz tzn. \(I^{-1} = I\),

  • \((diag(a_{11}, a_{12}, \: ..., \: a_{nm}))^{-1} = diag((a_{11})^{-1}, (a_{22})^{-1}, \: ..., \: a_{nn})^{-1})\),

Przykład 1:

Aby obliczyć macierz odwrotną z macierzy \(A\)
\(A=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2 & 1\\
5 & 3
\end{bmatrix}\)

zawsze najpierw obliczamy wyznacznik, więc:
\(det(A)= \: \: \: \: \:\: \: \:\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix} \: \: \: \: \:\:= \: \: \: \:\: \:\: \:\: \:
\begin{vmatrix}
2 & 1\\
5 & 3
\end{vmatrix}\)

\(det(A)=a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}=2 \cdot 3 -1\cdot 5=1\)

wyznacznik jest różny od zera więc już wiemy, że można obliczyć naszą macierz odwrotną, następnie przystępujemy do obliczania macierzy dopełnień algebraicznych \(A^D\):
\(A^D= \begin{bmatrix}
(-1)^{1+1}\cdot a_{22} & (-1)^{1+2}\cdot a_{21}\\
(-1)^{2+1}\cdot a_{12} & (-1)^{2+2}\cdot a_{11}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
{\color{DarkRed}+} 3 & {\color{DarkRed}-} 5\\
{\color{DarkRed}-} 1&{\color{DarkRed}+} 2
\end{bmatrix}\)

gdzie \( (-1)^{i+j}\) w wyrażeniu oznacza to numer wiersza \(i\) i kolumny \(j\),
następnie transponujemy macierz \( {(A^D)}^T\):

\({(A^D)}^T = \begin{bmatrix}
(-1)^{1+1}\cdot a_{22} & (-1)^{1+2}\cdot a_{21}\\
(-1)^{2+1}\cdot a_{12} & (-1)^{2+2}\cdot a_{11}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 & -1\\
-5& 2
\end{bmatrix}\)

na koniec aby obliczuć macierz odwrotną trzeba podzielić każdy z wyrazów macierzy dołączonej przez wartość wyznacznika macierzy:

\(
A^{-1} = \begin{bmatrix}
\frac{(-1)^{1+1}\cdot a_{22}}{det(A)} & \frac{(-1)^{1+2}\cdot a_{21}}{det(A)}\\ \\
\frac{(-1)^{2+1}\cdot a_{12}}{det(A)} & \frac{(-1)^{2+2}\cdot a_{11}}{det(A)}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\dfrac{3}{1} & \dfrac{-1}{1}\\ \\
\dfrac{-5}{1}& \dfrac{2}{1}
\end{bmatrix}\)

i tak dokładnie wygląda wzór na macierz odwrotna 2x2, a nasza szukana macierz odwrotna wynosi:

\(A^{-1}=
\begin{bmatrix}
3 & -1\\
-5& 2
\end{bmatrix}\)


Przykład 2:
teraz obliczymy macierz odwrotną 3x3. Niech dana będzie macierz \(A\) taka, że:

\(B= \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} &a_{13} \\
a_{21} & a_{22} &a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & \:\:\:5 & \:\:\:7\\
6 & \:\:\:3 & \:\:\:4\\
5 & -2 & -3
\end{bmatrix}\)


podobnie jak wcześniej najpierw obliczamy wyznacznik macierzy 3x3:


\(det(B)= \begin{vmatrix}
2 & \:\:\:5 & \:\:\:7\\
6 & \:\:\:3 & \:\:\:4\\
5 & -2 & -3
\end{vmatrix}

= -1\)

następnie obliczamy macierz dopełnień algebraicznych:

\(B^D=
\begin{bmatrix}
{\color{DarkRed}+}\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} &
{\color{DarkRed}-}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix}

&
{\color{DarkRed}+}\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix}
\\ \\
{\color{DarkRed}-}\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32}& a_{33}
\end{vmatrix}
& {\color{DarkRed}+}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} \\
a_{31}& a_{33}
\end{vmatrix}
& {\color{DarkRed}-}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{31}& a_{32}
\end{vmatrix}
\\ \\ {\color{DarkRed}+}
\begin{vmatrix}
a_{12} & a_{13}\\
a_{22} & a_{23}
\end{vmatrix}
& {\color{DarkRed}-}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13}\\
a_{21} & a_{23}
\end{vmatrix}
& {\color{DarkRed}+}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21}& a_{22}
\end{vmatrix}
\end{bmatrix}\)

czyli:

\(B^D= \begin{bmatrix}
{\color{DarkRed}+}\begin{vmatrix}
3 & 4\\
-2 & -3
\end{vmatrix} &
{\color{DarkRed}-}\begin{vmatrix}
6 & 4\\
5 & -3
\end{vmatrix}

&
{\color{DarkRed}+}\begin{vmatrix}
6 & 3\\
5 & -2
\end{vmatrix}
\\ \\
{\color{DarkRed}-}\begin{vmatrix}
5 &7 \\
-2& -3
\end{vmatrix}
& {\color{DarkRed}+}
\begin{vmatrix}
2 &7 \\
5&-3
\end{vmatrix}
& {\color{DarkRed}-}
\begin{vmatrix}
2 &5 \\
5& -2
\end{vmatrix}
\\ \\ {\color{DarkRed}+}
\begin{vmatrix}
5 & 7\\
3 & 4
\end{vmatrix}
& {\color{DarkRed}-}
\begin{vmatrix}
2 & 7\\
6 & 4
\end{vmatrix}
& {\color{DarkRed}+}
\begin{vmatrix}
2 & 5\\
6& 3
\end{vmatrix}
\end{bmatrix}\)

więc:

\(B^D=\begin{bmatrix}
-1 & 38 & -27\\
1 & -41 & 29\\
-1 & 34 & -24
\end{bmatrix}\)

następnie obliczamy macierz transponowaną:

\( {(B^D)}^T = \begin{bmatrix}
-1 & 1 & -1\\
38 & -41 & 34\\
-27 & 29 & -24
\end{bmatrix}\)

więc macierz odwrotna będzie miała postać:

\(\dfrac{{(B^D)}^T}{det(B)}= \begin{bmatrix}
1 & -1 & 1\\
-38 & 41 & -34\\
27 & -29 & 24
\end{bmatrix}\)

Przykład 3:

Macierzą odwrotną do macierzy \(A = \begin{bmatrix}
1 & a\\
0 & 1
\end{bmatrix}\) jest macierz \(\begin{bmatrix}
1 & -a\\
0 &  \: \:1
\end{bmatrix}\)