Metoda Gaussa-Jordana do obliczania macierzy odwrotnej lub układów równań - opis

Metoda Gaussa-Jordana 

Metoda Gaussa-Jordana służy do obliczania macierzy odwrotnych oraz do rozwiązywania układów równań liniowych z wieloma niewiadomymi. Metodę tą polecam przy obliczaniu macierzy odwrotnych większych niż 3x3, wzór na macierz odwrotną przy macierzach 4x4 staje się misją na długie posiedzenia, a nie o to chodzi by liczyć do znudzenia, bo wtedy łatwo o pomyłkę, w takich przypadkach przychodzi nam z pomocą właśnie ta metoda. Rozwiązywanie układów równań różni się od metody Gaussa tym, że zerujemy współczynniki pod i nad przekątną naszej macierzy. Należy pamiętać, że nie możemy wykonywać operacji na kolumnach, w metodzie Gaussa-Jordana możemy wykonywać operacje na wierszach, możemy mnożyć wiersze przez liczbę różną od zera, dodawać (odejmować) wiersze do siebie.

 

teraz przedstawimy krok po kroku metodę Gaussa-Jordana do rozwiązywania układów równań.


Niech dany będzie układ czterech równań z czterema niewiadomymi taki, że:


\(\left\{\begin{matrix}
2\cdot x & +2\cdot y & -z & +w & =7\\
-x & +y & +2\cdot z & +3\cdot w & =3\\
3\cdot x & -y & +4\cdot z & -w & =31\\
x & +4\cdot y & -2\cdot z & +2\cdot w & =2
\end{matrix}\right.\)

wyznacznik powstanie w sposób:

\(\left\{\begin{matrix}
{\color{DarkRed}2}\cdot x & {\color{DarkRed}{+2}}\cdot y & {\color{DarkRed}{-1}}z & {\color{DarkRed}{+1}}w & = {\color{DarkGreen}{7}}\\
{\color{DarkRed}{-1}}x & {\color{DarkRed}{+1}}y & {\color{DarkRed}{+2}}\cdot z & {\color{DarkRed}{+3}}\cdot w & ={\color{DarkGreen}{3}}\\
{\color{DarkRed}{3}}\cdot x & {\color{DarkRed}{-1}}y & {\color{DarkRed}{+4}}\cdot z & {\color{DarkRed}{-1}}w & ={\color{DarkGreen}{31}}\\
{\color{DarkRed}{1}}x & {\color{DarkRed}{+4}}\cdot y & {\color{DarkRed}{-2}}\cdot z & {\color{DarkRed}{+2}}\cdot w & ={\color{DarkGreen}{2}}
\end{matrix}\right.\)


i będzie wyglądał:

\(\begin{matrix}
_x\:\:\:\:\:\:\:\: _y \:\:\:\:\:\:\:\: _z\:\:\:\:\:\:\:\: _w & \\
\begin{bmatrix}
\:\:\:2 & \:\:\:2 & -1 & \:\:\:1\\
-1 & \:\:\:1 & \:\:\:2 & \:\:\:3\\
\:\:\:3 & -1 & \:\:\:4 & -1\\
\:\:\:1 & \:\:\:4 & -2 & \:\:\:2
\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}
7\\
3\\
31\\
2
\end{bmatrix}
\end{matrix}
\begin{matrix}
{/ \:+\:drugi\: wiersz}\\
\:\\
\:\\
\:
\end{matrix} \)


następnie w pierwszym członie wiersza pierwszego wytworzymy jedynkę, dodając wiersz drugi do wiersza pierwszego:

\(\begin{bmatrix}
\:\:\:1 &\:\:\: 3 &\:\:\: 1 &\:\:\: 4\\
-1 & \:\:\:1 & \:\:\:2 & \:\:\:3\\
\:\:\:3 & -1 & \:\:\:4 & -1\\
\:\:\:1 & \:\:\:4 & -2 & \:\:\:2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
10\\
3\\
31\\
2
\end{bmatrix}
\begin{matrix}
\: \\  \: \\ \: \\
/ \: + \: wiersz pierwszy\\
/ \: - \: 3\cdot wiersz pierwszy\\
/ \: - \: wiersz pierwszy
\end{matrix}\)

teraz w pierwszej kolumnie zerujemy liczby pod przekątną, uczynimy to dodając wiersz pierwszy do wiersza drugiego, odejmując wiersz pierwszy pomnożony przez trzy od wiersza trzeciego oraz odejmując wiersz pierwszy od wiersza czwartego

\(
\begin{bmatrix}
1 &\:\:\:\: 3 &\:\:\: 1 &\:\:\: 4\\
0 & \:\:\:\:4 & \:\:\:3 & \:\:\:7\\
0 & -10 & \:\:\:1 & -13\\
0 & \:\:\:1 & -3 & \:\:\:-2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
10\\
13\\
\:\:\:1\\
-8
\end{bmatrix}

\begin{matrix}
\: \\
/ \: - \: 3\cdot wiersz \:czwarty \\
\: \\
\:
\end{matrix}
\)

teraz w drugiej kolumnie na pozycji drugiej uzyskamy jedynkę odejmując od wiersza drugiego wiersz czwarty pomnożony przez trzy 

\(\begin{bmatrix}
1 &\:\:\:\: 3 &\:\:\: 1 &\:\:\: 4\\
0 & \:\:\:\:1 & \:\:\:12 & \:\:\:13\\
0 & -10 & \:\:\:1 & -13\\
0 & \:\:\:1 & -3 & \:\:\:-2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
10\\
37\\
\:\:\:1\\
-8
\end{bmatrix}

\begin{matrix}
/ \: -\: 3 \cdot drugi \:wiersz\\
\: \\
/\:+\: 10 \cdot drugi \:wiersz \\
/ \: - drugi \:wiersz
\end{matrix}\)

następnie zerujemy liczby pod i nad przekątną w drugiej kolumnie:

\(\begin{bmatrix}
1 &0 &\:\:\: -35 &\:\:\: -35\\
0 & 1 & \:\:\:12 & \:\:\:13\\
0 & 0 & \:\:\:121 & -117\\
0 & 0 & -15 & \:\:\:-15
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-101\\
37\\
371\\
-45 
\end{bmatrix}

\begin{matrix}
\: \\  \: \\ \: \\ \: \\ \: \\ 
\: \\
/\:+\: 8 \cdot czwarty \:wiersz \\
/\: :(-15)
\end{matrix}\)

następnie z liczby 121 chcemy zrobić jedynkę najłatwiejszym sposobem byłoby podzielenie całego trzeciego wiersza przez 121, jednak spowodowałoby to wytworzenie się ułamków, chcemy tego uniknąć więc do wiersza trzeciego dodamy wiersz czwarty pomnożony przez osiem, wiersz czwarty można też trochę uprościć dzieląc go przez -15:


\(\begin{bmatrix}
1 &0 &\:\:\: -35 &\:\:\: -35\\
0 & 1 & \:\:\:12 & \:\:\:13\\
0 & 0 & \:\:\:1 & -3\\
0 & 0 & \:\:\:1 & \:\:\:1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-101\\
37\\
11\\
3
\end{bmatrix}

\begin{matrix}
/ \: +\: 35\cdot wiersz \:trzeci\\
\: - \: 12\cdot wiersz \: trzeci\\
\: \\
/\: - \:  wiersz \: trzeci
\end{matrix}\)

następnie zerujemy liczby pod i nad przekątna w trzeciej kolumnie:

\(\begin{bmatrix}
1 &0 &0 &-140\\
0 & 1 & 0 & 49\\
0 & 0 & 1 & -3\\
0 & 0 & 0 & \:\:\:4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
284\\
-95\\
\:\:\:11\\
-8
\end{bmatrix}
\begin{matrix}
\: \\
\: \\  \: \\ \: \\ \: \\ \: \\ \: \\ \: \\
\: \\
/\: : \: (4)
\end{matrix}\)

teraz w wierszu czwartym na ostatnim miejscu uzyskamy jedynkę (na przekątnej na końcu):

\(\begin{bmatrix}
1 &0 &0 &-140\\
0 & 1 & 0 & 49\\
0 & 0 & 1 & -3\\
0 & 0 & 0 & \:\:\:1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
284\\
-95\\
\:\:\:11\\
-2
\end{bmatrix}



\begin{matrix}
/ \: +\: 140\cdot wiersz \:czwarty\\
/ \: - \: 49\cdot wiersz \: czwarty\\
/ \: + \: 3\cdot wiersz \: czwarty \\
\:
\end{matrix}\)

czeka nas już ostatnia operacja, zerujemy liczby w kolumnie czwartej nad przekątną, dodając wiersz czwarty pomnożony przez sto czterdzieści do pierwszego wiersza, odejmując wiersz czwarty pomnożony przez czterdzieści dziewięć od wiersza drugiego, oraz dodając wiersz czwarty pomnożony przez trzy do wiersza trzeciego:

\(\begin{bmatrix}
1 &0 &0 &0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\:\:\:4\\
\:\:\:3\\
\:\:\:5\\
-2
\end{bmatrix}\)

tak więc rozwiązaniem układu równań jest:

\(\left\{\begin{matrix}
x=4\\
y=3\\
z=5\\
w=-2
\end{matrix}\right. \)

Układ równań posiada jedno rozwiązanie.

Teraz zaprezentujemy przykład obliczania macierzy odwrotnej metodą Gaussa-Jordana, należy pamiętać że o ile przy rozwiązywaniu układów równań wolno nam było zamieniać wiersze między sobą (nie zastosowaliśmy tego w przykładzie powyżej), to przy obliczaniu macierzy odwrotnej nie możemy tego robić. Aby obliczyć macierz odwrotną tą metodą, obok danej macierz zapisujemy macierz jednostkową, a następnie (tak jak w przykładzie powyżej) wykonując operacje na wierszach (dodawanie,odejmowanie, mnożenie wiersza przez liczbę) zamieniamy naszą macierz na jednostkową a macierz jednostkowa zamieni się w macierz odwrotną.

Przykład obliczania macierzy odwrotnej metodą Gaussa-Jordana:

niech dana będzie macierz:

\(B=\begin{bmatrix}
2 & 1 &1 &1 \\
5 &2 & 2 &1 \\
2 & 1 & 3 &0 \\
1& 1 & 2 & 1
\end{bmatrix}\)

obok najszej macierzy zapisujemy macierz jednostkową:

\(\begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
2 & 1 &1 &1 &\\
5 &2 & 2 &1 &\\
2 & 1 & 3 &0 &\\
1& 1 & 2 & 1 &
\end{matrix}\right|
&
\begin{matrix}
\:1 & 0 &0 & 0\\
\:0 & 1 & 0 & 0\\
\:0 & 0 & 1 & 0\\
\:0 & 0 &0 &1
\end{matrix}
\end{bmatrix}\begin{matrix}
/ \: - \: czwarty \: wiersz\\
\: \\
\: \\ \: \\ \: \\ \: \\ \: \\ \: \\
\:
\end{matrix}\)

teraz najpierw musimy w pierwszym wierszu pierwszy wyraz przerobić na liczbę jeden a następnie liczby w pierwszej kolumnie pod przekątną wyzerować, więc od pierwszego wiersza odejmiemy wiersz trzeci, a następnie od drugiego wiersza odejmiemy pięć razy wiersz pierwszy, od trzeciego odejmiemy dwa razy wiersz pierwszy, oraz od czwartego odejmiemy wiersz pierwszy:

\(\begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
1 & 0 &-1 &0 &\\
5 &2 & 2 &1 &\\
2 & 1 & 3 &0 &\\
1& 1 & 2 & 1 &
\end{matrix}\right|
&
\begin{matrix}
\:1 & 0 &0 & -1\\
\:0 & 1 & 0 & 0\\
\:0 & 0 & 1 & 0\\
\:0 & 0 &0 &1
\end{matrix}
\end{bmatrix}\begin{matrix}
\:\\ \: \\ \: \\
/ \: -5\cdot pierwszy \: wiersz\\
/ \: -2\cdot pierwszy \: wiersz\\
/ \: - pierwszy \: wiersz
\end{matrix}\)

następnie odejmowanie:

\(\begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
1 & 0 &-1 &0 &\\
0 &2 & 7 &1 &\\
0 & 1 & 5 &0 &\\
0& 1 & 3 & 1 &
\end{matrix}\right|
&
\begin{matrix}
\:1 & 0 &0 & -1\\
\:-5 & 1 & 0 & 5\\
\:-2 & 0 & 1 & 2\\
\:-1 & 0 &0 &2
\end{matrix}
\end{bmatrix}\begin{matrix}
\:\\
/ \:- \: trzeci\: wiersz\\
\:\\ \: \\ \: \\

\end{matrix}\)

następnie w drugim wierszu w drugim wyrazie wytwarzamy jedynkę przez dodanie trzeciego wiersza do drugiego wiersza:

\(\begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
1 & 0 &-1 &0 &\\
0 &1 & 2 &1 &\\
0 & 1 & 5 &0 &\\
0& 1 & 3 & 1 &
\end{matrix}\right|
&
\begin{matrix}
\:1 & 0 &0 & -1\\
\:-3 & 1 & -1 & 3\\
\:-2 & 0 & 1 & 2\\
\:-1 & 0 &0 &2
\end{matrix}
\end{bmatrix}\begin{matrix}
\:\\
\:\\ \: \\ \: \\ \: \\
/ \:- \: drugi\: wiersz\\
/ \:- \: drugi\: wiersz
\end{matrix}\)

wytwarzamy jedynkę w drugim wierszu na przekątnej macierzy: 

\(\begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
1 & 0 &-1 &0 &\\
0 &1 & 2 &1 &\\
0 & 0 & 3 &-1 &\\
0& 0 & 1 & 0 &
\end{matrix}\right|
&
\begin{matrix}
1 & 0 &0 & -1\\
-3 & 1 & -1 & 3\\
1 & -1 & 2 & -1\\
2 & -1 &1 &-1
\end{matrix}
\end{bmatrix}\begin{matrix}
\:\\
\:\\ \: \\ \: \\ \: \\
/ - 2\cdot czwarty\: wiersz\\
\:
\end{matrix}\)

następnie w trzecim wierszu wytwarzamy jedynkę na przekątnej macierzy:

\(\begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
1 & 0 &-1 &0 &\\
0 &1 & 2 &1 &\\
0 & 0 & 1 &-1 &\\
0& 0 & 1 & 0 &
\end{matrix}\right|
&
\begin{matrix}
\:1 & 0 &0 & -1\\
\:-3 & 1 & -1 & 3\\
\:-3 & 1 & 0 & 1\\
\:2 & -1 & 1 &-1
\end{matrix}
\end{bmatrix}\begin{matrix}
/ \:+ \: trzeci\: wiersz\\
/ \:- \:2\cdot trzeci\: wiersz\\
\: \\
/ \:- \: trzeci\: wiersz
\end{matrix}\)

zerujemy wyrazy pod i nad przekątną macierzy:

\(\begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
1 & 0 &0 &\:\:\:-1 &\\
0 &1 & 0 &\:\:\:3 &\\
0 & 0 & 1 &-1 &\\
0& 0 & 0 & \:\:\:1&
\end{matrix}\right|
&
\begin{matrix}
\:-2 & 1 &0 & 0\\
\:3 & -1 & -1 & 1\\
\:-3 & 1 & 0 & 1\\
\:5 & -2 & 1 &-2
\end{matrix}
\end{bmatrix}\begin{matrix}
/ \:+ czwarty\: wiersz\\
/ \:- \:3\cdot czwarty\: wiersz\\
/ \:+ \: czwarty\: wiersz \\
\: \\ \: \\ \:
\end{matrix}\)

na koniec zerujemy wyrazy w czwartej kolumnie nad przekątną:

\(\begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
1 & 0 &0 &0 &\\
0 &1 & 0 &0 &\\
0 & 0 & 1 &0 &\\
0& 0 & 0 & 1&
\end{matrix}\right|
&
\begin{matrix}
\:3 & -1 &1 & -2\\
\:-12 & 5 & -4 & 7\\
\:2 & -1 & 1 & -1\\
\:5 & -2 & 1 &-2
\end{matrix}
\end{bmatrix}\)

tak więc naszą macierzą odwrotna jest:

\(B^{-1}=\begin{bmatrix}
\:3 & -1 &1 & -2\\
\:-12 & 5 & -4 & 7\\
\:2 & -1 & 1 & -1\\
\:5 & -2 & 1 &-2
\end{bmatrix}\)

aby sprawdzić czy dobrze obliczyliśmy naszą macierz wystarczy pomnożyć macierz \(B\) i macierz \(B^{-1}\) wynikiem powinna być macierz jednostkowa.