Eszkola

Nierówność wymierna

Nierównością wymierną nazywamy każdą nierówność postaci:

\({{W(x)} \over {G(x)}} >0 , {{W(x)} \over {G(x)} } <0, {{W(x)} \over {G(x)}} {\le 0}, {{W(x)} \over {G(x)}} {\ge 0}, \)gdzie \(W(x)\) oraz \(G(x)\)są wielomianami, natomiast \(G(x) \) nie jest wielomianem zerowym.

Bardzo ważne przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych jest pamiętanie o wyznaczeniu dziedziny. Dziedziną nierówności wymiernej są wszystkie liczby rzeczywiste, bez pierwiastków wielomianu \(G(x)\), który znajduje się w mianowniku wyrażenia, tzn. \(D={\mathbb{R} \setminus \{ x:G(x)=0 \}}.\)

Ponadto, przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych często korzystamy z faktu, że iloraz i iloczyn tych samych wyrażeń mają ten sam znak, tzn. \({x \over y} {\ge} 0 {\quad }{\leftrightarrow} {\quad} xy {\ge0} {\quad} {\wedge \quad y\neq 0}.\)

Wzór na rozwiązywanie nierówności wymiernych:

  1. Rozkładamy na czynniki wielomian w mianowniku, ustalamy dziedzinę nierówności.
  2. Przenosimy wszystkie wyrażenia wymierne na jedną stronę nierówności, tak aby po drugiej zostało zero.
  3. Sprowadzamy wszystkie wyrażenia do wspólnego mianownika oraz zapisujemy w postaci jednego ułamka.
  4. Rozkładamy na czynniki wielomian występujący w liczniku.
  5. Zastępujemy iloraz iloczynem z uwzględnieniem następujących założeń:

\({{W(x)} \over {G(x)} } >0 {\quad} {(W(x)G(x)>0 \quad \wedge \quad G(x) \neq 0)}\)

\({{W(x)} \over {G(x)} } <0 {\quad} {(W(x)G(x)<0 \quad \wedge \quad G(x) \neq 0)}\)

\({{W(x)} \over {G(x)} } \le 0 {\quad} {(W(x)G(x) \le 0 \quad \wedge \quad G(x) \neq 0)}\)

\({{W(x)} \over {G(x)} } \ge 0 {\quad} {(W(x)G(x) \ge 0 \quad \wedge \quad G(x) \neq 0)}\)

Zobacz na przykładzie:

\({{x+2} \over {x-4}}+{{x-4} \over {x+3}} {\le}{1 \over 2}\)

Na początku należy wyznaczyć dziedzinę, czyli mianownik żadnego z ułamków nie może być równy zero.

\({x-4 \neq 0, x+3 \neq 0, x \neq 4, x\neq -3}\)

\(D={\mathbb{R} \setminus \{-3, 4\}} \)

Następnie przenosimy wszystko na lewą stronę oraz sprowadzamy do wspólnego mianownika:

\({{x+2} \over {x-4}} + {{x-4} \over {x+3}} - {1 \over 2} {\le 0}\)

\({{(x+2)2(x+3)}+{(x-4)2(x-4)}-{(x-4)(x+3)} \over {2(x-4)(x+3)}} {\le 0}\)

\({{2(x^2+3x+2x+6)+2(x^2-8x+16)-(x^2+3x-4x-12)} \over {2(x-4)(x+3)}} {\le 0}\)

\({{2x^2+6x+4x+12+2x^2-16x+32-x^2-3x+4x+12} \over {2(x-4)(x+3)}} {\le 0}\)

\({{3x^2-5x+56} \over {2(x-4)(x+3)}} {\le 0} \)

Ułamek należy zamienić na iloczyn licznika i mianownika:

\({2(3x^2-5x+56)(x-4)(x+3)} {\le 0}\)

\((3x^2-5x+56)(x-4)(x+3) {\le 0}\)

Kolejnym krokiem jest przyrównanie każdego czynnika iloczynu do zera, aby wyznaczyć miejsca zerowe:

\(3x^2-5x+56 = 0\)

\({\bigtriangleup = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 } {<0}\)

Widzimy, że równanie to nie ma rozwiązań, ponieważ wyróżnik jest ujemny.

\(x-4=0{\quad} {\rightarrow} {\quad x=4} \)

\(x+3=0 {\quad \rightarrow \quad x=-3}\)

Dla ułatwienia, możemy zaznaczyć wyznaczone przez nas miejsca zerowe na osi liczbowej oraz narysować przybliżony wykres wielomianu, ale w tym przypadku widać, że \({x \in [-3,4]}.\)

Sprawdźmy teraz zgodność z dziedziną. Musimy odrzucić wszystkie argumenty, które nie należą do dziedziny. Dla przypomnienia, dziedzina to: \(D={\mathbb{R} \setminus \{-3, 4\}}, \) zatem nasz ostateczny wynik prezentuje się tak: \({x \in (-3,4)}.\)