Eszkola

Rachunek różniczkowy

Pochodna jest to obecnie jedno z ważniejszych pojęć matematycznych, wykorzystywane w wielu dziedzinach nauki, takich jak analiza matematyczna fizyka, chemia czy astronomia. Warunkiem koniecznym do istnienia pochodnej funkcji jest jej ciągłość, choć nie jest to warunek wystarczający, w punkcie, w którym funkcja nie jest ciągła, nie jest ona również różniczkowalna. Mimo że twierdzenie odwrotne jest twierdzeniem prawdziwym, czyli funkcja ciągła w punkcie x0 jest różniczkowalna w tym punkcie. Jeżeli mamy funkcje f zależną od argumentu x a także argument x0 w otoczeniu, którego nasza funkcja f(x) jest określona, to istnieją dwie równoznaczne definicje pochodnej. Po pierwsze pochodną naszej funkcji w punkcie x0 możemy zdefiniować jako:

\(f`(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \)

Jeżeli nasza funkcja f(x) ma pochodną w punkcie x0, to możemy powiedzieć, że nasza funkcja jest różniczkowalna w tym punkcie. Drugą, częściej stosowaną, definicją pochodnej jest:

\(f`(x_0)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \)

wyrażenie \(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) jest stosunkiem przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentów tej funkcji i nazwane jest ilorazem różnicowym, zwyczajowo jest to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do funkcji w danym punkcie. Pochodna daje nam możliwość określenia monotoniczności funkcji i tak jeżeli:

\(f`(x)>0\) to f(x) rośnie w x0

\(f`(x)=0\) f(x) jest stała w x0

\(f`(x)<0\) f(x) maleje w x0

Najczęściej stosowanymi oznaczeniami pochodnej są:\(f`(x)\) a także \(Df(x)\)\(\frac{df(x)}{dx}\) lub w analogiczny sposób jeżeli mamy przedstawioną funkcję w postaci wzoru funkcji y to będzie \(y`\)\(Dy\) oraz \(\frac{dy}{dx}\).

Do prawidłowego korzystania z rachunku różniczkowego niezbędna jest znajomość poniższych reguł różniczkowania:

funkcja pochodna funkcji
\(f(x)=a\) \(f`(x)=0\)
\(​​f(x)=x\) \(f~(x)=1\)
\(f(x)=x^v\) \(f`(x)=nx^{n-1}\)
\(f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}\) \(f`(x)=-\frac{1}{x^2}=-x^{-2}\)
\(f(x)= \sqrt{x}\) \(f`(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(f(x)=a^x\) \(f`(x)=a^xlna\)
\(f(x)=e^x\) \(f`(x)=e^x\)
\(f(x)=sinx\) \(f`(x)=cosx\)
\(f(x)=cosx\) \(f`(x)=-sinx\)
\(f(x)=tgx\) \(f`(x)=\frac{1}{cos^2x}\)
\(f(x)=ctgx\) \(f`(x)=-\frac{1}{sin^2x}\)

 

Jeżeli mamy dwie funkcje f(x) oraz g(x), z których każda jest różniczkowalna to istnieją następujące zależności między nimi:

\((f(x)+g(x))`=f`(x)+g`(x)\)

\((f(x)-g(x))`=f`(x)-g`(x)\)

\((f(x)g(x))`=f`(x)g(x)+f(x)g`(x)\)

\((f(g(x)))`=f`(g(x))g`(x)\)

\((\frac{f(x)}{g(x)})`=\frac{f`(x)g(x)-f(x)g`(x)}{g^2(x)}\)

 

Przykład 1. Oblicz pochodną funkcji f(x)=2x2 w punkcie x0 równym 3

Zadanie to rozwiążemy dwoma metodami:

  • z drugiej definicji pochodnej

\(f`(x_0)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \)

\(f`(3)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h} \)

\(f`(3)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{2(3+h)^2-2(3)^2}{h} \)

\(f`(3)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{2(9+6h+h^2)-2(9)}{h} \)

\(f`(3)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{18+12h+2h^2-18}{h} \)

\(f`(3)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{12h+2h^2}{h} \)

\(f`(3)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{h(12+2h)}{h} \)

\(f`(3)=\lim\limits_{h \to 0}(12+2h)\)

\(f`(3)=12\)

  • korzystając z reguł różniczkowania

\(f`(x)=nx^{n-1}\)

\(​​f`(3)=2*2x^{2-1}\)

\(​​f`(3)=2*2x^1\)

\(​​f`(3)=2*2*3\)

\(f`(3)=12\)