Wielomiany - opis

WIELOMIAN to wyrażenie algebraiczne będące sumą jednomianów.

POSTAĆ ILOCZYNOWA WIELOMIANU to wielomian zapisany w postaci iloczynu czynników, czynnikami tymi są wielomiany niższych stopni.

Przykład 1. Zapisz wielomian w postaci iloczynowej: f(x) = x² - 9
                  f(x)= (x-3)(x+3)

Przykład 2.  Zapisz wielomian w postaci iloczynowej: g(x) =x³-3x²-8x+4
                  g(x)=(x+2)(x²-5x+2)    bo    (x+2)(x²-5x+2)=x^3-5x²⁺2x+2x²-10x+4=x³-3x²-8x+4

RÓWNOŚĆ WIELOMIANÓW wielomian f(x) jest równy wielomianowi g(x) wtedy i tylko wtedy gdy współczynniki stojące przy zmiennych o tych samych samych potęgach są sobie równe 
                 f(x)=ax³+bx²+cx+d
                 g(x)=ex³+fx²+gx+h
wielomian f(x) jest równy wielomianowi g(x) gdy:

                 a=e, b=f, c=g oraz d=h

TWIERDZENIE O RESZCIE reszta z dzielenia wielomian f(x) przez dwumian (x-a) jest równa wielomianowi f(a)

TWIERDZENIE BEZOUTE`A pewna liczba a jest pierwiastkiem wielomianu f(x) jeżeli wielomian ten jest podzielny przez dwumian (x-a)

PIERWIASTKI WIELOMIANU (miejsca zerowe) jest to liczba dla której wartość wielomianu jest równa 0

Przykład 1. Oblicz pierwiastki wielomianu f(x)=4x³-18x²+20x-6

                  f(x)=4x³-18x²+20x-6 = 4x³-4x²-14x²+14x+6x-6=4x²(x-1)-14x(x-1)+6(x-1)=(x-1)(4x²-14x+6)

                 obliczam pierwiastki równania kwadratowego

 ∆=b²-4ac

 x₁\(= {-b - \sqrt{∆} \over 2a}\)                  x₂₌\(= {-b + \sqrt{∆} \over 2a}\)

∆=14²-4*4*6=100
\( { \sqrt{∆} }=10\)

x₁=0,5                        x₂=3

pierwiastki wielomianu to x₁=0,5, x₂=3, x₃=1 co można zapisać w postaci iloczynowej f(x)=(x-1)(x-3)(x-0,5)

Miejsca zerowe wielomianu czyli pierwiastki wielomianu to takie liczby dla których wielomian jest równy 0

Dzielenie wielomianów odbywa się w analogiczny sposób do dzielenia pisemnego. Jeżeli chcemy podzielić wielomian W(x) = (x² + 4x - 5) przez wielomian P(x) = (x - 1), gdzie W(x) nazywa się dzielna a P(x) dzielnikiem. Działanie to wykonuje się w następujących krokach:

• dzielimy pierwszy wielomian x² przez x
• otrzymany wynik wpisujemy nad kreską
• wpisany wynik dzielenia mnożę przez (x - 1), jednocześnie zmieniam znaki na przeciwne i wynik zapisuje pod wielomianem W (x), pamiętając o tym aby  zapisywać  jednomian pod jednomianem tego samego stopnia
• podkreślamy całe działanie i dodajemy pisemnie, redukujemy jednomiany tego samego stopnia
• spisujemy wartość -5 z wielomianu W(x)
• dzielimy  najwyższa potęgę w wielomianie 5x - 5 przez x pochodzący z wielomianu (x - 1)
• wynik dzielenia zapisujemy nad górną kreską
• otrzymany jednomian + 5, mnożę przez dwumian (x - 1)
• ponownie mnożę jak w punkcie 3, wykonujemy to tyle raz, aż uzyskamy samą liczbę
• w naszym przypadku otrzymaliśmy 0 co świadczy o tym, że otrzymaliśmy dzielenie wielomianu bez reszty.