Eszkola

Całka oznaczona oraz nieoznaczona

Całką funkcji \(f(x)\) nazywamy taką funkcję \(F(x)\), że \(F'(x) = f(x)\).

Funkcja \(F(x)\), która spełnia powyższy warunek, nazywana jest funkcją pierwotną. Operację całkowania zapisujemy jako:

\({\int f(x) dx = F(x)}\)

gdzie symbol \(dx\) oznacza, że całkujemy funkcję \(f(x)\) po zmiennej \(x\). Oczywiście przy obliczaniu prostych całek symbol ten nie ma większego wpływu, ale należy zapisywać go ze względów formalnych.

Możemy rozróżnić całkę nieoznaczoną oraz całkę oznaczoną.

Całkę nieoznaczoną rozumiemy jako pojęcie odwrotne do pochodnej funkcji. Często obliczanie całki nieoznaczonej jest pierwszym krokiem przy obliczaniu całki oznaczonej. Liczenie całki z \(f(x)\) to szukanie takiej funkcji pierwotnej \(F(x)\), że jej pochodna jest równa \(f(x)\). Czyli: \({ \int f(x) dx = F(x)}{\quad \rightarrow \quad F'(x)=f(x)}\)

Przykłady:

  • \({ \int {{x^3+1} \over x} dx = \int (x^2 + {1 \over x}) dx = \int x^2 dx + \int {1 \over x} dx = {1\over 3} x^3+ln|x| +C }\)
  • \({\int 7 x^4 dx = 7 \int x^4 dx = 7 \cdot {x^5 \over 5} +C}\)

Całkę oznaczoną intuicyjnie rozumiemy jako pole powierzchni między wykresem funkcji \(f(x)\) w pewnym przedziale \([a,b]\), a osią odciętych (wzięte ze znakiem + dla wartości dodatnich funkcji, wzięte ze znakiem – dla ujemnych wartości funkcji).

Z twierdzenia Newtona-Leibniza: jeżeli funkcja \(f\) jest ciągła na przedziale \([a,b]\) to całkę oznaczoną możemy policzyć ze wzoru:

\({\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)}\)

gdzie \({F(x) = \int f(x) dx}\) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji \(f\) na tym przedziale.

Przykłady:

\({\int_{0}^{1} xdx = [{1 \over 2} x^2]_{0}^{1} = {1 \over 2}}\)

\({\int_{a}^{b} {1\over x} dx = [lnx]_{a}^{b} = lnb - ln a = ln {b \over a}}\) dla \(a>0, b>0\)

 

Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania, dlatego żeby sprawnie liczyć całki, należy wcześniej dobrze opanować liczenie pochodnych.