Tożsamości trygonometryczne

Tożsamością trygonometryczną nazywamy pewną zależność między funkcjami trygonometrycznymi.

Do podstawowych tożsamości trygonometrycznych zaliczyć możemy:

  • \({sin^2 x+ cos^2 x = 1}\) tzw. jedynka trygonometryczna
  • \({tgx \cdot ctgx = 1}\)

Funkcje trygonometryczne sumy oraz różnicy kątów:

  • \(sin(x+y) = sinx cos y +cosx siny\)
  • \(sin(x-y)=sinxcosy - cosxsiny\)
  • \(cos(x+y) = cosxcosy-sinxsiny\)
  • \(cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny\)
  • \({tg(x+y)={{tgx+tgy} \over {1-tg x \cdot tgy}}}\)
  • \(tg(x-y)={{tgx - tgy} \over {1+tgx \cdot tgy}}\)
  • \(ctg(x+y)={{ctgx \cdot ctgy -1} \over {ctg x + ctg y}}\)
  • \(ctg(x-y)={{ctgx \cdot ctgy +1} \over {ctgx - ctgy}}\)

Suma oraz różnica funkcji trygonometrycznych:

  • \(sinx+siny = 2sin{{x+y} \over 2} \cdot cos{{x-y} \over 2}\)
  • \(sinx - siny = 2sin {{x-y} \over 2} {\cdot cos {{x+y} \over 2}}\)
  • \(cosx + cos y = 2cos {x+y \over 2} {\cdot cos {{x-y} \over 2}}\)
  • \(cosx - cos y = -2sin {x+y \over 2} {\cdot sin {x-y \over 2}}\)
  • \(tgx+tgy= {{sin(x+y) }\over {cosx \cdot cos y}}\)
  • \(tgx - tg y = {{sin(x-y) \over {cos x \cdot cos y}}}\)
  • \(ctgx + ctg y = {{sin(x+y)} \over {sinx \cdot siny}}\)
  • \(ctgx - ctg y = {{sin(x-y)} \over {sinx \cdot siny}}\)

Funkcje kąta podwójnego:

  • \(sin2x = 2sinx cos x\)
  • \(cos2x = cos^2x-sin^2x = 2cos^2x -1\)
  • \(tg2x = {{2tg x} \over {1-tg^2x}}\)
  • \(ctg2x = {{ctg^2x -1} \over {2ctgx}}\)

Funkcje połowy kąta:

  • \({|sin {x \over 2} |= \sqrt{{1-cosx} \over 2}}\)
  • \({|cos {x \over 2} | = \sqrt{{1+cosx} \over 2}}\)
  • \({|tg {x \over 2} | = \sqrt{{1-cosx} \over {1+cosx}}}\)
  • \({|ctg{x \over 2} | = \sqrt {{1+cosx} \over {1-cosx}}}\)

Odwrotności funkcji trygonometrycznych:

  • \(sinx = {1 \over csc x}\)
  • \(cosx = {1 \over sec x}\)
  • \(tg x = {{{sin x} \over {cosx} }= {1 \over ctgx}}\)
  • \(ctgx = {{cos x \over sin x} = {1 \over tgx}}\)

Parzystość oraz nieparzystość funkcji trygonometrycznych:

  • funkcje nieparzyste: sinus, tangens, cotangens

\(sin(-x) = -sinx\)

\(tg(-x) = -tgx\)

\(ctg(-x) = - ctgx\)

  • funkcje parzyste: cosinus

\(cos(-x) = cosx\)